Рассмотрим движение механической системы, имеющей n степеней свободы, на которую наложены голономные удерживающие связи.

Уравнения движения системы запишем в форме уравнений Лагранжа II рода

d/dt (∂T/∂q^•)^T — (∂T/∂q)^T = — (∂П/∂q)^T + Q_Н. (4.1)

Здесь T , П − кинетическая и потенциальная энергии системы, q = (q₁, …, q_n)^T, q^• = (q₁^•, …, q_n^•)^T − n-мерные векторы-столбцы ее обобщенных координат и скоростей, Q_Н = Q_Н(q,q^•) = (Q_Н1, …, Q_Нn)^T − вектор-столбец обобщенных неконсервативных сил.

Устойчивость относительного равновесия. Измененная потенциальная энергия W₁

Определение 4.2. Обобщенные координаты, которые не входят в выражения кинетической и потенциальной энергий системы, называются циклическими. Остальные координаты называются позиционными.

Предположим, что механическая система, имеющая n степеней свободы, имеет r позиционных (r < n) и (n−r) циклических координат. Вектор позиционных координат системы обозначим через q = (q₁,…,q_r)^T, а вектор циклических координат − через φ = (φ₁,…,φ_n−r)^T, где для удобства принято q_r+1=φ₁, q_r+2=φ₂,…, q_n=φ_n−r.

Тогда кинетическую энергию можно записать в виде

T = ½ ∑ a_ijq_i^•q_j^• = ½q^•TA(q)q^• + q^•TB(q)φ^• + ½φ^•TC(q)φ^• (4.20)

Элементы матриц A=A(q), B=B(q) и C=C(q), а также потенциальная энергия П = П(q) зависят только от позиционных координат q.

Пусть обобщенных неконсервативных сил Q_н = Q_н(q) нет, а по циклическим координатам действуют обобщенные управляющие силы U.

Тогда уравнения движения данной механической системы в форме уравнений Лагранжа II рода имеют следующий вид

d/dt (∂T/∂q^•)^T — (∂T/∂q)^T = — (∂П/∂q)^T (4.21)

d/dt (∂T/∂φ^•) = U

Или в скалярном виде:

d/dt ∂T/∂q_i^• — ∂T/∂q_i = — ∂П/∂q_i (i = 1,…,r)

d/dt (∂T/∂φ_j^•) = U_j (j = 1,…, n − r)

Вторая группа уравнений (4.21) после подстановки (4.20) имеет вид

Cφ^•• + dС/dt φ^• + d/dt [B^Tq^•] = U . (4.22)

Далее рассмотрим частный случай системы (4.22), а именно, систему с регулируемыми циклическими координатами, когда обобщенные управляющие силы U с помощью обратной связи в любой момент времени компенсируют сумму второго и третьего слагаемых в выражении (4.22), т.е.

U₀ = d/dt [B^Tq^•] dС/dt φ^• (4.23)

При таком управлении U₀ уравнение (4.22) принимает наиболее простой вид

Cφ^••= 0,

из которого следует первый (векторный) интеграл движения

φ^• = ω = const, (4.24)

означающий, что для любого момента времени циклические скорости постоянны.

Этот случай управления соответствует наличию в системе двигателей неограниченной мощности (идеальных двигателей), которые независимо от движения системы обеспечивают постоянство циклических скоростей. В гироскопии этот случай соответствует случаю системы с сервосвязью.

Пример: Если в системе (4.21) все циклические координаты соответствуют углам поворота роторов, входящих в систему, то условия

φ^• = ω = const

означают, что все роторы, входящие в систему, управляются двигателями неограниченной мощности и вращаются равномерно с постоянными угловыми скоростями ω_r+1, ω_r+2, … , ω_n независимо от величин сил, действующих в системе.

При значении U₀ управления (4.23) число степеней свободы механической системы (4.21) уменьшается, поскольку движение по циклическим координатам задано

φ = ωt + φ₀ = const. (4.24)

Выражения (4.24) представляют собой уравнения нестационарных связей, наложенных на систему.

Кинетическая энергия (4.20) в данном случае зависит только от позиционных координат и скоростей q, q^• и параметров ω и ее можно представить в виде суммы трех однородных относительно позиционных скоростей q^• функций

T (q, q^•) = T₂ (q, q^•) + T₁ (q, q^•) + T₀ (q), (4.25)

где индекс означает степень однородности функции,

T₂ (q, q^•) = ½q^•TA(q)q^• , T₁ (q, q^•) = q^•TB(q)ω , T0 (q) = ½ ωTC(q)ω.

Для исследования движения системы с кинетической энергией (4.25) достаточно
рассмотрения только первой группы уравнений (4.21), которые можно записать в виде

d/dt (∂T₂/∂q^•)^T — (∂T₂/∂q)^T = — (∂W₁/∂q)^T) + Г₁ (4.26)

Или в скалярном виде так:

d/dt ∂T₂/∂q_i^• — ∂T₂/∂q_i =
— ∂W₁/∂q_i + Г₁ (i = 1,…,r) (4.26′)

Определение 4.3:
Функция W₁(q)=П(q) − T₀(q) называется измененной потенциальной энергией системы.

Вектор

Г₁(q, q^•) = d/dt (∂T₁/∂q^•)^T — (∂T₁/∂q)^T

с элементами

Г_1i(q, q^•) = d/dt ∂T₁/∂q_i^• — ∂T₁/∂q_i = ∑g_tjq_j^•

представляет собой обобщенные гироскопические силы, коэффициенты которых образуют кососимметрическую матрицу G = (g_ij) = — GT с элементами

g_ij (q, q^•) = — g_ji (q, q^•) = ∑ [∂b_kj/∂q_i — ∂b_ki/∂q_j]ωk,

где b_kj − элементы матрицы B.

Гироскопические силы могут отсутствовать в уравнениях (4.26), если все коэффициенты g_ij=0. В этом случае система (4.26) называется гироскопически несвязанной, в
противном случае − гироскопически связанной.

Умножим обе части уравнений (4.26) на q^•T (или уравнения (4.26′) на q^• j и сложим их).

Согласно основному свойству гироскопических сил сумма работ гироскопических сил на любом действительном перемещении системы равна нулю, тогда уравнение баланса энергии примет вид

dH₁/dt = 0, (4.27)

где H₁ (q, q^•) = ∑ ∂T₂/∂q_i^• — T₂ + W₁ = T₂ + W₁. При вычислении функции H₁ использована теорема Эйлера об однородных функциях.

Из уравнений (4.27) следует первый интеграл − обобщенный интеграл энергии (интеграл Якоби)

H₁ = T₂ + W₁= const.

Уравнения (4.26) имеют частное решение

q_p(t) = q_p = const, q_p^•(t) ≡ 0 , (4.28)

описывающее положение относительного равновесия системы.

Подставим (4.28) в (4.26) и найдем уравнения относительного равновесия

0 = — ∂W₁/∂q . (4.29)

Именно решением этих уравнений (4.29) является решение (4.28)

Определение 4.4. Равновесие (4.28) системы (4.26) с регулируемыми циклическими координатами (4.24), при котором постоянны все позиционные координаты q_p =const и
циклические скорости φ^•=ω=const называется положением относительного равновесия системы.

Замечание: Равновесие системы относительно подвижной равномерно вращающейся системы координат, при котором все позиционные координаты системы постоянны, а позиционные скорости равны нулю, является положением относительного равновесия системы.

Поскольку на практике реализуются только устойчивые положения равновесия, то исследуем устойчивость положения относительного равновесия (4.28).

Для этого согласно теореме Ляпунова необходимо найти знакоопределенную функцию Ляпунова, производная которой в силу уравнений возмущенного движения будет функцией знакопостоянной противоположного знака или тождественно равной нулю.

В качестве функции Ляпунова в данном случае удобно взять функцию обобщенной энергии системы

U = H₁ =T₂ + W₁. (4.30)

Поскольку согласно (4.25) выражение квадратичной формы кинетической энергии T₂ представляет собой определенно положительную функцию позиционных скоростей q^•, то mдостаточные условия устойчивости относительного равновесия (4.28) могут быть найдены с помощью следующей модифицированной теоремы Лагранжа.

Теорема 4.2 (модифицированная теорема Лагранжа):
Если в положении относительного равновесия (4.28) измененная потенциальная энергия системы W₁(q) имеет изолированный минимум, то такое положение относительного равновесия устойчиво относительно позиционных координат q и скоростей q^•.

Доказательство аналогично доказательству теоремы 4.1.

Замечание: В данном случае измененная потенциальная энергия системы

W₁(q) = П(q) − T₀ = П(q) − ½ ω^TC(q)ω = W₁(q, ω)

зависит от параметров ω=const и при исследовании устойчивости относительных равновесий qp=qp(ω) (4.28) также имеет место закон смены устойчивости в точках бифуркации.

Пример: Устойчивость относительного равновесия тяжелого колечка A на вращающейся с постоянной скоростью окружности (см.рисунок).

Задача:
Тяжелое колечко A массой m может скользить без трения по окружности радиуса OA=R, которая вращается вокруг своего вертикального диаметра. Угловая скорость вращения окружности постоянна φ^• = ω, φ − угол поворота окружности. Найти относительные равновесия колечка на окружности и исследовать их устойчивость. На плоскости параметров системы θ, ω построить бифуркационную диаграмму θ = θ (ω), где θ − угол, определяющий положение колечка на окружности.

Комментарии запрещены.