Рассмотрим движение механической системы, имеющей n степеней свободы, на которую наложены голономные удерживающие связи.
Уравнения движения системы запишем в форме уравнений Лагранжа II рода

d/dt ∂T/∂q^• — ∂T/∂q = — ∂П/∂q + Q_Н. (4.1)

Здесь T, П — кинетическая и потенциальная энергии системы, q = (q₁, …, q_n)^T, q^•(q₁^•,…,q_n^•)^T — n-мерные векторы-столбцы ее обобщенных координат и скоростей, Q_Н=Q_Н(q,q^•) = (Q_Н1,…, Q_Нn)^T — вектор-столбец обобщенных неконсервативных сил,
∂T/∂q = (∂T/∂q₁, ∂T/∂q₂, … , ∂T/∂q_n)^T.

Пусть связи, наложенные на систему (4.1), стационарные, т.е. не зависят от времени. Тогда кинетическая энергия системы будет иметь вид

T = ½q^•TA(q)q^•. (4.2)

Пусть на систему действуют только консервативные силы, имеющие потенциальную энергию

П = П(q), (4.3)

т.е. будем предполагать, что обобщенные неконсервативные силы Q_Н = 0 отсутствуют.

Тогда уравнения движения (4.1) примут вид

d/dt ∂T/∂q^• — ∂T/∂q = — ∂П/∂q. (4.4)

Уравнения (4.4) имеют частное решение

q_p(t) = q_p = const, q_p^•(t) ≡ 0, (4.5)

описывающее положение (абсолютного) равновесия системы (4.4).

Подставив (4.5) в (4.4), найдем уравнения (абсолютного) равновесия

0 = — ∂П/∂q. (4.6)

Решение (4.5) удовлетворяет уравнениям (4.6).

Определение 4.1. Положением абсолютного равновесия системы называется равновесие системы (4.5) относительно неподвижной (инерциальной) системы координат, при котором все обобщенные координаты системы постоянны, а обобщенные скорости равны нулю

q_1p = const, … , q_np = const, q_1p^• = 0, … , q_np^• = 0. (4.7)

Уравнения (4.6) представляют собой систему n нелинейных алгебраических уравнений относительно n неизвестных q₁, …, q_n

∂Ï/∂q₁ = 0, ∂Ï/∂q₂ = 0, …, ∂Ï/∂q_n = 0. (4.6.1)

В общем случае уравнения (4.6.1) могут иметь несколько решений, которые описывают положения равновесия нелинейной системы (4.4).

Некоторые из этих решений могут быть устойчивыми, некоторые неустойчивыми. На практике реализуются только устойчивые положения равновесия, поэтому для того, чтобы из множества положений равновесия выделить устойчивые равновесия, необходимо исследовать поведение системы (4.4) в окрестности каждого положения равновесия или, другими словами, решить задачу об устойчивости положения равновесия (4.7).

Согласно теореме Ляпунова об устойчивости (теорема 3.1) в том случае, если для исследуемого положения равновесия удастся найти знакоопределенную функцию Ляпунова, производная которой в силу уравнений возмущенного движения будет функцией знакопостоянной противоположного знака или тождественно равной нулю, то это положение равновесия будет устойчивым относительно обобщенных координат и скоростей.

Согласно методу Четаева (п.3.3) в качестве функции Ляпунова можно выбирать интегралы уравнений движения системы, если они существуют.

Поскольку данная система (4.4) консервативная, то уравнения движения (4.4) имеют первый интеграл – интеграл энергии

U =T + П = h. (4.8)

Поэтому, естественно, в качестве функции Ляпунова V выбрать выражение полной энергии системы

V =U – U₀, (4.9)

где U₀ = T(q_p,0) + П(q_p) = П(q_p), T(q_p,0) = 0.

Достаточные условия устойчивости абсолютного равновесия (4.7) могут быть найдены с помощью следующей теоремы Лагранжа.

Теорема 4.1 (Лагранжа, 1788 г.). Если в положении абсолютного равновесия (4.7) потенциальная энергия системы П(q) имеет изолированный минимум, то такое положение абсолютного равновесия устойчиво относительно обобщенных координат q и скоростей q^•.

Доказательство:
Функция Ляпунова (4.9) имеет вид

V = T(q,q^•) + П(q) + П(q_p). (4.11)

Поскольку T(q,q^•) = ½q^•TA(q)q^• — определенно-положительная функция обобщенных скоростей q^•, то выбранная функции Ляпунова (4.11) будет удовлетворять условиям теоремы Ляпунова об устойчивости (теоремы 3.1) тогда и только тогда, когда потенциальная энергия системы П(q) будет определенно-положительной функцией обобщенных координат q, т.е. когда она будет иметь изолированный минимум в положении абсолютного равновесия. Теорема доказана.

Что будет, если потенциальная энергия не имеет минимума в положении равновесия. Ответ на этот вопрос дает теорема Ляпунова – в этом случае говорят, что имеет место обращение теоремы Лагранжа.

Теорема 4.2 (Ляпунова). Если в положении абсолютного равновесия потенциальная энергия П(q) не имеет минимума и его отсутствие определяется членами второго порядка малости в разложении функции в ряд без необходимости рассмотрения членов более высокого порядка малости, то такое положение равновесия неустойчиво относительно обобщенных координат q и скоростей q^•.

Таким образом, устойчивость абсолютного равновесия системы полностью определяется свойствами ее потенциальной энергии.

Алгоритм нахождения и исследования устойчивости абсолютного равновесия
1. Для нахождения абсолютного равновесия нет необходимости выписывать кинетическую энергию системы, достаточно выписать только потенциальную энергию.
2. Выписываем уравнения абсолютного равновесия, имеющих форму уравнений (4.6.1),

∂П/∂q₁ = 0, ∂П/∂q₂ = 0, …, ∂П/∂q_n = 0 (4.12)

3. Решаем систему нелинейных алгебраических уравнений (4.12) относительно обобщенных координат. В результате находим значения координат q_p(t) = q_p = const, q_p^•(t) ≡ 0 в положении абсолютного равновесия (4.7). У нелинейной системы (4.4) их может быть несколько.

4. Исследуем устойчивость каждого из найденных положений равновесия q_p путем исследования потенциальной энергии на минимум в соответствии с теоремой Лагранжа.
4.1. Для этого составляем матрицу вторых производных потенциальной энергии по обобщенным координатам

C = (c_ij) = (∂²П/(∂q_i∂q_j) )_qp (4.13)

где индекс (q_p) означает, что производные вычисляются при q=q_p в исследуемом положении равновесия. Замечание. Потенциальная энергия в окрестности исследуемого положения равновесия qp имеет вид

П(q) = П(q_p) + П₂(x₁) + П₃(x₁), П₂(x₁) = ½ x₁^TСx₁, (4.14)

где x₁=q-q_p — малые отклонения от положения равновесия, П₂(x₁) — квадратичная часть выражения потенциальной энергии, П₃(x₁) — совокупность членов выше второго порядка малости.

4.2. Находим условия определенной положительности квадратичной формы потенциальной энергии П₂ = ½ x₁^TСx₁ с помощью критерия Сильвестра. Данные условия будут достаточными условиями устойчивости положения абсолютного равновесия консервативной системы (4.4).

Комментарии запрещены.