Функция Ляпунова для исследования устойчивости невозмущенного движения строится в
виде суммы первых интегралов уравнений возмущенного движения (3.5.1)

V = λ₁V₁ + λ₂V₂ + …+ λ_kV_k + μ₁V₁² + μ₂V₂² + …+ μ_kV_k² = const, (3.16)

где

V_j (x) = U_j(x) − U_j(0), (j = 1, …, k; k < N), (3.17)

λ₁=1 (можно принять), λ₂, …, λ_k, μ₁, μ₂, …, μ_k − неопределенные постоянные.

Построенная таким образом функция Ляпунова (3.16) также является первым интегралом уравнений возмущенного движения (3.5.1).

2. Неопределенные постоянные λ₂, …, λ_k, μ₁, μ₂, …, μ_k выбираются таким образом, чтобы
функция Ляпунова V(x) была знакоопределенной.

Замечание 3.7. Если при разложении функции V(x) в ряд по степеням отклонений x₁, x₂, …, x_N имеются линейные члены, то постоянные λ₁, λ₂ , …, λ_k выбираются из условия отсутствия линейных членов функции V(x).

Теорема. Если можно найти постоянные λ₂, …, λ_k, μ₁, μ₂, …, μ_k так, чтобы функция Ляпунова V(x) (3.16) будет знакоопределенной, то невозмущенное движение x=0 будет устойчивым по Ляпунову относительно величин x₁, x₂, …, x_N.

Доказательство: По условию теоремы построенная функция Ляпунова (3.16) является знакоопределенной, а ее полная производная в силу уравнений возмущенного движения тождественно равна нулю в силу того, что функция V(x) является первым интегралом этих уравнений. Действительно:

V ^•|_(3.5.1) = λ₁V₁^• + λ₂V₂^• + …+ λ_kV_k^•+ μ₁ V₁ V₁^• + μ₂ V₂ V₂^• + … + μ_k V_k V_k^•_(3.5.1) ≡ 0. (3.18)

Следовательно, функция V(x) удовлетворяет всем условиям теоремы Ляпунова об устойчивости и невозмущенное движение x=0 является устойчивым по Ляпунову относительно величин x₁, x₂, …, x_N. Теорема доказана.

Замечания 3.8
1. Достаточно часто можно положить все μ_m = 0 (m = 1, …, k), т.е. построить функцию Ляпунова в виде линейной связки интегралов

V = V₁ + λ₂V₂+ …+ λ_kV_k = const, (3.19)

2. Как правило, все постоянные μ_m кроме одного можно положить равными нулю, т.е.
построить функцию Ляпунова, например, в виде

V = V₁ + λ₂V₂+ …+ λ_kV_k + μ_mV_m² = const, (3.20)

3. Поскольку в методе Четаева не используется вид уравнений движения рассматриваемой системы, то этот метод позволяет строить функцию Ляпунова также и для систем с бесконечным числом степеней свободы (например, для систем твердых тел, содержащих жидкость и/или упругие элементы).

4. Сформулированная теорема сохраняет силу также в случае, когда функция V(x) не является интегралом уравнений движения, а является некоторой функцией, не возрастающей (или не убывающей) в силу уравнений движения системы. В этом случае
функция Ляпунова (3.16) будет знакоопределенной, а ее производная V^•_(3.5.1) знакопостоянной функцией противоположного знака с V. Например, в случае, если на
консервативную систему действуют диссипативные силы, то теорема об изменении полной энергии имеет вид

d(Т + П)/dt = − 2R, (3.21)

где R – диссипативная функция Рэлея.

Более подробно понятия и методы теории устойчивости движения можно найти в литературе.

Комментарии запрещены.