А.М. Ляпунов доказал ряд теорем, согласно которым об устойчивости нулевого решения x=0 нелинейной системы (2.1) можно судить по устойчивости ее линейной части
(2.2). Приведем некоторые из них для случая постоянной матрицы A₁ = const.

Замечание 1. Если элементы матрицы A₁ = A₁ (t) зависят от времени, то уравнения первого приближения (2.2) являются линейными нестационарными дифференциальными уравнениями. Технология исследования устойчивости нулевого решения в данном случае является более сложной и отличается от той, которая представлена ниже.

Характеристическим уравнением системы (2.2) называется уравнение

Δ(λ) = det (λE — A₁) = 0. (2.3)

Здесь E — единичная матрица.

Теорема 1 (Ляпунова об устойчивости по первому приближению): Если все корни λ_j характеристического уравнения (2.3) имеют отрицательные действительные части Re λ_j < 0 (j = 1, ..., N), то нулевое решение x=0 системы (2.1) асимптотически устойчиво относительно переменных x независимо от нелинейных членов F₂(x).

Теорема 2 (Ляпунова о неустойчивости по первому приближению): Если среди корней характеристического уравнения (2.3) найдется хотя бы один корень с положительной действительной частью Re λk>0, то нулевое решение x=0 относительно переменных x системы (2.1) неустойчиво независимо от нелинейных членов F₂(x).

Критические случаи исследования устойчивости по первому приближению

Случаи, в которых некоторые из корней характеристического уравнения (2.3) имеют нулевые действительные части Re λ_m = 0 (нулевые корни или чисто-мнимые), а остальные корни имеют отрицательные действительные части, то в этих случаях выводы об устойчивости линейной системы (2.2) называются особыми или критическими.

В критических случаях свойства устойчивости нулевого решения x=0 полной нелинейной системы (2.1) не могут быть установлены из исследования уравнений первого приближения (2.2). В данных случаях на характер устойчивости существенное влияние будут
оказывать нелинейные члены F₂(x). В зависимости от вида нелинейных членов F₂(x) нулевое решение полной системы (2.1) может быть как устойчиво, так и неустойчиво.

Таким образом, все случаи исследования устойчивости по первому приближению делятся на некритические (теоремы 2.1 и 2.2), когда задача об устойчивости невозмущенного движения нелинейной системы решается исследованием линейной части системы, и критические, для которых исследования уравнений первого приближения недостаточно и требуется рассматривать нелинейные слагаемые.

С математической точки зрения критические случаи являются исключительными. Однако при исследовании механических систем эти случаи встречаются достаточно часто.

Поэтому в следующей статье перейдем к общим методам исследования нелинейных систем, которые позволяют решать задачу устойчивости, в том числе и в критических случаях, и получать достаточные условия устойчивости невозмущенного движения.

Замечание. Утверждения теорем 2.1 и 2.2 являются необходимыми и достаточными условиями асимптотической устойчивости и неустойчивости нулевого решения системы (2.1).

Комментарии запрещены.