Для того, чтобы применять приведенные выше теоремы об устойчивости, необходимо каким-то образом найти или построить функцию Ляпунова V.
Н.Г.Четаев предложил способ построения функции Ляпунова V в виде связки интегралов уравнений движения.

Определение 3.6. Функция V = V(x) называется первым интегралом уравнений движения (3.5.1)

dx/dt = F(x), F(0) = 0, x (t₀) = x₀. (3.5.1)

если полная производная по времени от функции V(x), вычисленная в силу этих уравнений,
тождественно равна нулю, т.е.
V|_(1.18) = dV/dt|_1.18 = ∂V/∂x₁ dx₁/dt + … + ∂V/∂x_N dx_N/dt|_1.18 = ∂V/∂x₁ F₁ + … + ∂V/∂x_N F_N ≡ 0. (3.8)

Из выражения (3.8) следует, что V = V (x₁, …, x_N)|_(3.5.1) = const.

Примеры интегралов уравнений движения, найденных с помощью теорем механики
1. Если на механическую систему действуют только консервативные силы, то полная энергия системы сохраняется вовсе время движения. В этом случае имеет место интеграл полной энергии системы
Т+П = h = const. (3.9)

2. Если силы, действующие на механическую систему, не дают момента относительно какой-либо неподвижной прямой (обозначим ее ось x), то проекция момента количества движения системы (или кинетического момента) G = ∑[r_k, m_kv_k] (m – масса k-й точки системы; r_k,v_k
– радиус-вектор и скорость k-й точки системы) на эту прямую сохраняется. В этом случае мы имеем интеграл проекции кинетического момента на ось x:
G_x = const. (3.10)

3. Если силы, действующие на механическую систему, не дают момента относительно любой неподвижной прямой (например, в случае отсутствия сил), то вектор кинетического момента G сохраняется. В этом случае мы имеем векторный интеграл кинетического момента G = const.

В скалярном виде этот интеграл иногда удобно записывать так U = G² = const. (3.11)

4. Если силы, действующие на механическую систему, не дают проекции на какую-либо неподвижную прямую (обозначим ее ось x), то проекция количества движения системы Qx = mv_cx (m – масса всей системы, v_cx – проекция на ось x скорости центра масс системы) на эту прямую сохраняется. В этом случае мы имеем интеграл проекции количества движения mv_cx= const.

Можно выписать также и другие интегралы уравнений движения систем (ниже смотри конкретные примеры).

Если уравнения движения системы имеют один, не зависящий от времени, первый интеграл, например, интеграл полной энергии (3.9)

U = Т+П = const, (3.12)

то для исследования устойчивости невозмущенного движения x=0 можно выбрать функцию Ляпунова в виде

V = U(x) — U(0) = const (3.13)

Если данная функция Ляпунова будет удовлетворять требованиям теоремы Ляпунова об устойчивости, то невозмущенное движение x=0 будет устойчиво относительно переменных x₁, …, x_N.

Если уравнения движения системы имеют несколько не зависящих от времени первых интегралов
U₁ (x) = c₁ = const, U₂ (x) = c₂ = const, … , U_k (x) = c_k = const, (3.14)
где x = (x₁, …, x_N)^T, то функцию Ляпунова можно построить в виде суммы первых интегралов (3.14).
Обозначим значения интегралов (3.14) на невозмущенном движении x=0 следующим образом
U₁ (0) = c₁₀ = const, U₂ (0) = c₂₀ = const, … , U_k (0) = c_k0 = const. (3.15)

Комментарии запрещены.