Ранее рассматривалась задача анализа устойчивости предельных режимов у изучаемых процессов. В соответствии с этим в расчет принимались либо меры отклонения финальных распределений (слабая устойчивость в пределе), либо меры отклонения, усредненные по времени (устойчивость в среднем по времени). Если априори известно, что рассматриваемая система функционирует «достаточно долго», то анализ устойчивости в смысле приведенных определений оправдан, практически важен и может дать существенную информацию относительно ее поведения. Однако такая ситуация встречается далеко не всегда. Часто длина отрезка функционирования заранее не определяется и неизвестна. Поэтому (и наряду с этим) неизвестно также «время вхождения» системы в установившийся режим. Не исключены и случаи отсутствия «установившегося режима». Эти обстоятельства ведут к необходимости изучения устойчивости, которая является равномерной относительно времени, а также скорости сходимости к финальным распределениям.

Предполагается, что

z_t+1 = F(z_t, ξ_t),

где z_t=(z_t(1), …, z_t(v))∈Z, (ξ_t(1), …, ξ_t(r)))∈Ψ, множества Z и Ψ наделены метриками ρ_z и ρ_Ψ, α = (z₀, ξ₀, ξ₁, …). Аналогичные обозначения вводятся и для возмущенного процесса z_t*, причем предполагается, что {(ξ_k, ξ_k*)} —последовательность независимых одинаково распределенных пар. Обозначим μ₁(z₀, z₀*) и μ₂(ξ_i, ξ_i*) некоторые расстояния между случайными величинами z₀, z₀ и ξ_i, ξ_i* соответственно. Пусть μ(α, α*) = max (μ₁(z₀, z₀*), μ₁(ξ_i, ξ_i*)), а h(z_t, z_t*) — некоторое расстояние между случайными величинами z_t и z_t* (вообще говоря, определяемое их совместным распределением).

Сам факт наличия устойчивости и соответствующие количественные оценки зависят от выбираемых расстояний h и μ. Их выбор диктуется, с одной стороны, содержательной стороной задачи, для решения которой анализируется устойчивость. С другой стороны, выбор расстояний может диктоваться применяемым методом анализа и тем фактическим материалом, который при этом используется. Иногда анализ устойчивости, проведенный в одних метриках, может оказаться полезным для аналогичного анализа в других метриках ввиду имеющихся соотношений между различными расстояниями. Поэтому конкретизировать вид h и μ мы будем по мере необходимости.

Определение 1. Процесс z_t назовем (h, μ)-устойчивым в точке α, если для любого ε > 0 существует такое число δ = δ(ε) > 0, что при μ(α, α*) < δ имеет место неравенство sup h(z_t, z_t*) < ε. Число δ = δ(ε) назовем модулем устойчивости; ниже будут даны его оценки в различных ситуациях. Поскольку начальное состояние (z₀, z₀*) и управляющая последовательность {(ξ_k, ξ_k*)} играют различную функциональную роль, то удобно это обстоятельство отразить в определении.

Определение 2. Процесс z_t назовем (h, μ₁, μ₂)-устойчивым в точке α = (z₀, ξ₀, ξ₁, …), если для любого ε >0 существуют такие числа δ₁ = δ₁(ε) > 0 и δ₂ = δ₂(ε) > 0, что при μ₁(z₀, z₀*) < δ₁, μ₁(ξ_i, ξ_i*) < δ₂ имеет место неравенство sup h(z_t, z_t*) < ε.

Комментарии запрещены.