В этом посте будет изучаться устойчивость, сформулированная в терминах маргинальных распределений, характеризующих регенерирующие процессы. За определение устойчивости можно взять определение 1.1, если в качестве h(z_t, z_t*) выбрать какое-либо расстояние, зависящее лишь от маргинальных распределений величин z_t и z_t* (ниже для определенности будет рассматриваться только расстояние Дадли d, «порождающее» слабую сходимость), а под μ(α, α*) понимать соответствующим образом введенную меру отклонения возмущенных параметров от невозмущенных, также определяемую маргинальными характеристиками процессов z_t и z_t*. Более подробная «расшифровка» μ(α, α*) будет дана ниже.

Повсюду предполагается, что процессы {z_t} и {z_t*} — регенерирующие. При этом обозначения, введенные в ранее для процесса {z_t}, сохраняются и здесь, а аналогичные обозначения для процесса {z_t*} снабжаются звездочками.

Как уже отмечалось, определяющим при изучении регенерирующих процессов является вложенный в них процесс восстановления. Поэтому сначала установим один факт, относящийся к этим процессам и имеющий самостоятельный интерес.

Будем считать фиксированными положительную функцию G∈χ, g₁ > 0, 0 < а < 1, N — натуральное число. Оценим sup|h(t) - h*(t)|. Для этого, подобно примеру, рассмотрим вспомогательную цепь Маркова {x_t, y_t}, определяемую рекуррентными соотношениями

x_t+1 = F(x_t, η_t), t ≥ 0,
y_t+1 = F(y_t, η_t*), t ≥ 0. (1)

{η_t, η_t*} — последовательность независимых одинаково распределенных пар случайных величин, причем удобно считать, что величины η_t, и η_t*, составляющие t-ю пару, зависимы, и их совместное распределение удовлетворяют условию

Р{η_t = k} = а(k),
P{η_t* = k} = a*(k). (2)

Существование такого совместного распределения очевидно, а конкретный вид его здесь неважен и, более того, в дальнейшем он будет варьироваться, чтобы получить необходимые оценки для маргинальных характеристик.

Будем для определенности считать, что t = 0 — момент восстановления для всех рассматриваемых процессов, и в соответствии с этим предполагать, что пара (х₀, у₀) распределена так же, как и пары (η_t, η_t*), и не зависит от последовательности {η_t, η_t*}- В силу построения цепи Маркова и равенств (2)

h(t) = P{х_t-1 = 1}, t ≥ 0, (3)
h(t) = P{y_t-1 = 1}, t ≥ 0, (4)

и поэтому

|h(t) — h*(t)| ≤ P{x_t-1≠y_t-1}. (5)

Обозначим L={(x, y) : x = y где x = y ∈ I₊, где I₊ = {1, 2, …}, θ(х, y)—время первого достижения процессом {x_t, у_t} при х₀ = х, у₀ = у множества L, где считается, что θ(х, у) = 0 при х = у ∈ I₊, q_t = Р {x_t≠y_t}.

Теорема 1. Для любых двух процессов восстановления, «порождаемых» распределениями из множества NP(N, a)∩L(G, g₁), справедлива оценка

sup|h(t) — h*(t)| ≤ π({a(·), {a*(·)}) (17).

Оценка (17) дает ответ и на вопрос об «устойчивости» процессов восстановления.

Следствие 1. Для любой последовательности процессов восстановления, определяемой распределениями {а⁽ⁿ⁾(·) ∈ NP{N, a) П L(G, g₁), a⁽ⁿ⁾(t) → a(t), t > 0, справедливо соотношение

sup |h(t)-h⁽ⁿ⁾(t)| → 0.

Утверждение теоремы 1 можно было бы доказать и другим способом.

sup|h(t) — h*(t)| ≤ max[Δ₁(t)∧Δ₂(t)]. (20)

Однако доказательство с помощью соотношения (20) обладает одним недостатком, существенным при анализе устойчивости. Именно, оно использует наличие предела у функций h(t) и h*(t). В то же время приведенное доказательство теоремы 1 не требует существования этих пределов (конечно, в условиях теоремы 1 указанные пределы существуют), и можно распространить результат теоремы 1 на случай суммирования независимых, но необязательно одинаково распределенных слагаемых. Важность данного обстоятельства состоит в том, что по самой сути постановки задач об устойчивости не предполагается точного знания вида законов распределения, «управляющих» исследуемым процессом, а допускается их вариация в некоторых границах. Однако и такие «малые» изменения приводят к тому, что у функций h(t) при t → ∞ предела может, вообще говоря, не существовать (образно говоря, факт существования такого предела не является устойчивым).

Комментарии запрещены.