1. Собственные колебания – это периодические движения, совершаемые системой после выведения её из положения равновесия.

2. Собственные колебания описываются однородными дифференциальными уравнениями.

3. Устойчивому положению равновесия консервативной системы с одной степенью свободы соответствует точка типа центр.

4. Неустойчивому положению равновесия консервативной системы с одной степенью свободы соответствует точка типа седло.

5. Абсолютное положение равновесия – это такое равновесие, при котором все обобщённые координаты постоянны во времени, а обобщённые скорости равны нулю.

6. Уравнения равновесия консервативной системы:
{∂П/∂qi=0}, i=0..n

7. Интеграл энергии равен механической энергии системы в начальный момент времени:
h = Т + П = 0,5 z_o^*T A z_o^* + 0,5 z_o^T C z_o, где z_o = z(0), z_o^* = z*(0).

8. Способы вывода уравнений малых колебаний нелинейной консервативной системы:
Вводим координату, определяющую малое отклонение от положения равновесия:
q = q_o + z,
где q_o – положение равновесия
z – отклонение от положения равновесия
а) Имея кинетическую и потенциальную энергию системы, выраженную в обобщённых координатах, мы получаем уравнение Лагранжа II-го рода в обобщённых координатах. В уравнении делаем замену переменных z = q – q_o и все нелинейные слагаемые раскладываем в ряд Тейлора в окрестности положения равновесия. Отбросив при разложении в ряд все нелинейные составляющие, получаем уравнения малых колебаний.
б) В известных формулах кинетической и потенциальной энергиях, выраженных через обобщённые координаты, делаем замену переменных z = q – q_o. Все нелинейные слагаемые раскладываем в ряд Тейлора в окрестности положения равновесия и исключаем все нелинейные слагаемые 3-го и более порядка. Получаем кинетическую и потенциальную энергии, выраженные через z и z*. Полученные энергии подставляем в уравнение Лагранжа II-го рода и получаем уравнение малых колебаний.

9. Основная особенность консервативных систем состоит в том, что получаемые матрица жесткостей и инерционная матрица являются симметричными матрицами, а инерционная матрица помимо прочего является и положительно определённой матрицей.

10. Положение равновесия называется устойчивым, если любое малое отклонение от него не выводит значения координат и скоростей системы за некую окрестность положения равновесия.

11. Характеристическое уравнение для уравнений малых колебаний консервативной системы:
det(C+λ²A)=0, где С – матрица жесткостей, А – инерционная матрица.

12. Общее решение уравнений малых колебаний консервативной системы:
z = ∑ Vi ( b_i1 e^λi t + b_i2 e ^λi t )

13. При значении характеристического числа λ_i2 < 0 среди мод колебаний линейной консервативной системы имеется гармоническое колебание. 14. При значении характеристического числа λ_i2 > 0 среди мод колебаний линейной консервативной системы имеется нарастающая мода.

15. Формулировка теоремы Ляпунова о неустойчивости положения равновесия по первому приближению: если среди корней характеристического многочлена найдётся хотя бы один корень с положительной действительной частью, то решение такой системы не является устойчивым.

16. Частотное уравнение устойчивой консервативной системы:
det(C-ω²А)=0

17. Спект частот – это все решения биквадратного уравнения det(C-ω²А)=0.

18. Коэффициентом устойчивости (с_i) для данного характеристического числа (λ_i) называется квадрат характеристического числа, взятого с обратным знаком.

19. Степень устойчивости – это число отрицательных коэффициентов устойчивости.

20. Чтобы, не находя коэффициенты устойчивости Пуанкаре, определить чётность/нечётность степени устойчивости консервативной системы, необходимо проанализировать знак определителя матрицы жёсткости. Если определитель меньше нуля, то степень устойчивости нечётная; если больше нуля – чётная.

21. Нормальные координаты консервативной системы – это такие координаты, в которых кинетическая и потенциальная энергии имеют вид диагональных квадратичных форм, а колебания происходят одной частотой.

22. Приведённые массы и приведённые жёсткости консервативной системы определяются следующим образом:
m_i = v_i^T A v_i ,
k_j = v_j^T C v_j .

23. см. пункт 21.

24. Уравнения малых колебаний консервативной системы в нормальных координатах:

z = ∑ V_i ξ_i

25. Критерий Сильвестра положительной определённости квадратичной формы: для того, чтобы квадратичная форма была положительно определённой, необходимо и достаточно, чтобы все главные диагональные миноры матрицы жёсткости были положительны.

26. Критерий Сильвестра отрицательной определённости квадратичной формы: для того, чтобы квадратичная форма была отрицательно определённой, необходимо и достаточно, чтобы все главные диагональные миноры матрицы жёсткости имели чередующиеся знаки, начиная с первого отрицательного минора.

27. Теорема Лагранжа об устойчивости положения равновесия консервативных систем: если потенциальная энергия в положении равновесия имеет изолированный минимум, то такое равновесие устойчиво.

28. Обращение теоремы Лагранжа о неустойчивости положения равновесия консервативных систем: если потенциальная энергия в положении равновесия не имеет изолированного минимума, то такое равновесие неустойчиво.

Комментарии запрещены.