Образовательный блог – всё для учебы

Задача об устойчивости нулевого решения x=0 системы дифференциальных уравнений
dx/dt = F(x), F(0) = 0, x (t₀) = x₀. (3.0)
может быть решена без особых трудностей, если эта система может быть проинтегрирована и в явном виде получены выражения для решения x = x(t, x₀) системы (3.0) как функции времени и начальных условий.

Однако задачи механики и других областей науки и техники приводятся к рассмотрению сложных систем нелинейных дифференциальных уравнений (3.0), которые,
как правило, в конечном виде не интегрируются.

Учитывая это обстоятельство, А.М.Ляпунов в конце 19-го века разработал новые методы решения задачи устойчивости. Он предложил два метода исследования устойчивости
движения.

К первому методу относятся способы, основанные на представлении решения системы (3.0) в виде бесконечных рядов и исследовании свойств этих решений.

Второй (или прямой) метод не требует решения уравнений возмущенного движения (3.0). Он сводит решение задачи устойчивости нулевого решения системы (3.0) к изучению
свойств некоторых специально построенных функций (функций Ляпунова). Второй метод Ляпунова получил большое развитие в работах советских ученых. Этот метод является более простым и эффективным по сравнению с первым методом.
С его помощью можно получить достаточные условия устойчивости невозмущенногодвижения.

1. Метод Четаева построения функции Ляпунова (второй метод Ляпунова)
2. Теоремы об устойчивости по первому приближению
3. Теорема об устойчивости. Теорема об неустойчивости
4. Уравнения возмущенного движения
5. Примеры устойчивости по первому приближению
6. Функции Ляпунова. Критерий Сильвестра
7. Корреляционный метод идентификации
8. Геометрическая интерпретация уравнений возмущенного движения
9. Асимптотической устойчивости по Ляпунову. Неустойчивости по Ляпунову
10. Определения функции Ляпунова и критерий Сильвестра
11. Критерии Рауса-Гурвица и Льенара-Шипара
12. Алгоритм, реализующий метод внутренних точек
13. Геометрические свойства знакоопределенной функции Ляпунова
14. Метод статистических испытаний Монте-Карло
15. Метод Фибоначчи
16. Метод последовательных уступок.
17. Неустойчивости по Ляпунову и асимптотическая устойчивость по Ляпунову