Второй метод Ляпунова. Введение

Задача об устойчивости нулевого решения x=0 системы дифференциальных уравнений
dx/dt = F(x), F(0) = 0, x (t0) = x0. (3.0)
может быть решена без особых трудностей, если эта система может быть проинтегрирована и в явном виде получены выражения для решения x = x(t, x0) системы (3.0) как функции времени и начальных условий.

Однако задачи механики и других областей науки и техники приводятся к рассмотрению сложных систем нелинейных дифференциальных уравнений (3.0), которые, как правило, в конечном виде не интегрируются.

Учитывая это обстоятельство, А.М.Ляпунов в конце 19-го века разработал новые методы решения задачи устойчивости. Он предложил два метода исследования устойчивости движения.

К первому методу относятся способы, основанные на представлении решения системы (3.0) в виде бесконечных рядов и исследовании свойств этих решений.

Второй (или прямой) метод не требует решения уравнений возмущенного движения (3.0). Он сводит решение задачи устойчивости нулевого решения системы (3.0) к изучению свойств некоторых специально построенных функций (функций Ляпунова). Второй метод Ляпунова получил большое развитие в работах советских ученых. Этот метод является более простым и эффективным по сравнению с первым методом.

С его помощью можно получить достаточные условия устойчивости невозмущенногодвижения.


Оставить комментарий





Статистика

Рейтинг@Mail.ru