Пусть уравнения возмущенного движения имеют вид

dx/dt = F(x), F(0) = 0, x(t₀) = x₀. (3.5.1)

Определение 5. Производной dV/dt функции V(x) = V(x₁, x₂, …, x_N) в силу уравнений возмущенного движения (1.18) называется ее полная производная по времени, вычисленная в предположении, что величины x₁, x₂, …, x_N удовлетворяют уравнениям (1.18), т.е.

V ^•|_(3.5.1) = dV/dt | _(3.5.1) = (∂V/∂x₁dx₁/dt + … + ∂V/∂x_Ndx_N/dt) _(3.5.1) = ∂V/∂x₁ F₁ + … + ∂V/∂x_N F_N (3.5)

Геометрическая интерпретация уравнений возмущенного движения (1.18)

Уравнения (3.5.1) описывают движение изображающей точки М с координатами x₁,…, x_N вдоль некоторой траектории γ в соответствии с уравнениями

dx/dt = U, (3.6)

где x=(x₁,…, x_N), U=(F₁, F₂,…, F_N)^T представляет собой скорость движения изображающей точки М, которая направлена по касательной к траектории γ (рис.3.4).

Рис.3.4 Геометрическая интерпретация уравнений возмущенного движения

Замечание 5. В соответствии с (3.6) производную (3.5) можно записать в виде скалярного произведения двух векторов

V^• | _(3.5.1) = (U, grad V) = |U| |grad V| cos(U, grad V). (3.7)

Из (3.7) следует, что информация о знаке производной функции V(x) может характеризовать движение изображающей точки М системы (3.6).

Действительно, пусть функция V(x) является положительно-определенной, тогда вектор grad V направлен по нормали к поверхности V = c в сторону возрастания функции V, т.е. во внешнюю часть поверхности V = c (рис.3.5-3.7).

Тогда из анализа знака производной положительно-определенной функции V в соответствии с выражением (3.7) будем иметь:

1° Если V ^• > 0, то изображающая точка М, начав движение на поверхности V = c, будет выходить наружу этой поверхности, так как угол α между касательной U к траектории γ точки М и вектором градиента grad V — острый (cos α = cos(U,gradV) > 0) (рис.3.5).

Рис.3.5 Случай cos α = cos(U,gradV) > 0

2° Если V ^• = 0, то изображающая точка М, начав движение на поверхности V = c, будет двигаться по касательной к этой поверхности, поскольку cos α = 0 (угол α прямой) (рис.3.6).

Рис.3.6 Случай cos α = cos(U,gradV) = 0

3° Если V • < 0, то изображающая точка М, начав движение на поверхности V = c, будет входить внутрь этой поверхности, поскольку cos α = cos(U,gradV) < 0 (угол α - тупой) (рис.3.7).

Рис.3.7 Случай cos α = cos(U,gradV) < 0

Следующие теоремы Ляпунова дают достаточные условия устойчивости, асимптотической устойчивости и неустойчивости невозмущенного движения относительно величин x₁, x₂, …, x_N.

Комментарии запрещены.