Функции Ляпунова. Критерий Сильвестра
15.07.2010 |Рассмотрим однозначную функцию V(x) = V(x1, …, xN), определенную в области
||x (t)|| < ε, (3.1)
обращающуюся в нуль V(0) = 0 при x = 0 и обладающую непрерывными первыми частными
производными по x1, …, xN.
Функции V(x), определенные таким образом, используются для исследования устойчивости и называются функциями Ляпунова.
Необходимые условия экстремума функции
Известно, что необходимыми условиями существования экстремума функции V(x) = V(x1, …, xN) в точке x1 = 0, …, xN = 0, является обращение в нуль всех частных производных функции
V(x1, …, xN) по переменным x1, …, xN в этой точке
(∂V/∂x1)0 = 0, (∂V/∂x2)0 = 0, …,
(∂V/∂xN)0 = 0 (3.2)
где индекс (0) означает, что производные берутся в начале координат (при x=0).
К точкам экстремума (локального экстремума) функции V(x) относятся точки локального минимума и точки локального максимума. Функция V(x) в точке x=0 может иметь точку перегиба. Точки перегиба и точки локального экстремума принято называть также критическими точками функции.
Пример 1. Точка x1 = x2 = 0 является точкой экстремума для функций V1 = x12 + x22,
V2 = (x1 — x2)2. Точка x1 = x2 = 0 для функции V3 = x12 — x22 является точкой перегиба. Но точка
x1 = x2 = 0 не является точкой экстремума для функции V4(x1, x2) = 4 x1 + 2 x2 + 2x12 + x22. Для этой функции точкой экстремума является точка x1 = -1, x2 = -1.
