Определения функции Ляпунова и критерий Сильвестра
18.07.2010 |Задачи 1. Найти точки экстремума (критические точки) для функций:
1) V5(x1, x2) = x1 — 3 x2 + x1 x2,
2) V6(x1, x2) = x13 — x22 — 2x12,
3) V7(x1, x2) = 3x12 + x22 — x13,
4) V8(x1, x2) = x13 +4 x23+ x24.
Определение 1.
1° Если в точке x1=x2=…=xn=0 функция V(x) имеет локальный экстремум (минимум, максимум) и в любой малой окрестности этой точки нет других экстремумов, то данная
точка x1=x2=…=xn=0 называется точкой изолированного экстремума.
2° Если в любой малой окрестности нуля существуют другие экстремумы функции V(x), то
точка x1=x2=…=xn=0 называется точкой неизолированного экстремума.
Пример 2. Для V1 = x12 + x22 точка x1 = x2 = 0 является точкой изолированного минимума.
Для V2 = (x1 — x2)2 точка x1 = x2 = 0 является точкой неизолированного минимума.
Задачи 2. Какие точки экстремума следующих функций являются изолированными, какие неизолированными:
1) V6(x1, x2) = x13 — x22 — 2x12,
2) V7(x1, x2) = 3x12 + x22 — x13,
3) V9(x1, x2) = x12 + 4 x1x2+ 4x2
2, 4) V10(x1, x2, x3) = (2x1 + x2)2+ (x2 — x3)2,
Знакопеременные, знакопостоянные и знакоопределенные функции
Определение 2. Если в области (3.1) функция V(x) может принимать как положительные,так и отрицательные значения, то она называется знакопеременной.
Определение 3. Функция V = V(x) называется знакопостоянной (постоянно-положительной или постоянно-отрицательной), если в области (3.1)
1. V(0) = 0 при x = 0.
2. V(x) ≥ 0 (либо V(x) ≤ 0) при x ≠ 0.
Определение 4. Если в области (3.1) функция V(x) может принимать значения только одного знака и обращается в нуль только при x = 0, то она называется знакоопределенной (положительно-определенной или отрицательно-определенной), т.е.
1. V(0) = 0 при x = 0.
2. V(x) > 0 (либо V(x) < 0) при x ≠ 0. Пример 3.
V1 = x12 + x22 положительно-определенная функция,
V2 = (x1 — x2)2 постоянно-положительная функция, V3 = x12 — x22 знакопеременная функция, V4(x1, x2) = x12 постоянно-положительная функция.
Задачи 3. Используя определения 2-4, исследовать свойства следующих функций:
1) V (x1, x2) = 4 x1 + 2 x2 + x12 + x12,
2) V (x1, x2) = x12 + x22 — x13,
3) V (x1, x2) = x14 + x24 — x25,
4) V (x1, x2) = — x12 — 2x22 + 5x13,
5) V (x1, x2) = 3x12 + x22 — x13,
6) V (x1, x2) = x13 +4 x23+ x24.
7) V (x1, x2) = 3 x1 + x22 + 2x12 + x13,
8) V (x1, x2) = x12 + 4 x1x2+ 4x22,
9) V (x1, x2, x3) = (2x1 + x2)2+ (x2 — x3)2,
10) V(x1, x2, x3) = (x1 — x2)2 + (x2 + x3)2 + 3x32.
Замечания 1.
1° Знакоопределенная (положительно-определенная и отрицательно-определенная) функция имеет в нуле изолированный экстремум (изолированный минимум или изолированный максимум).
2° Знакопостоянная (постоянно-положительная и постоянно-отрицательная) функция имеет в нуле неизолированный экстремум (неизолированный минимум или неизолированный максимум), поскольку в любой окрестности нуля найдутся другие точки, в которых функция имеет минимум или максимум.
