Приведем сначала вариант теоремы 3.1 для процессов с непрерывным временем. Здесь, как и раньше, через η^Q обозначим момент первого достижения множества Q⊂Z, а через θ^R — момент первого выхода из множества {||z|| < R}.
Теорема 1. Пусть Q⊂Z и пусть существует неотрицательная функция V∈D_A*, обладающая свойствами:

1) V_a = sup V(z) < ∞, при любом а > 0;
2) v_a = inf V(z) → ∞ при а → ∞;
3) Δ₁^V(z) 0 при z∈Z\Q;
4) Δ₂^V(z) 0 при z∈(Z\Q)*;

Тогда при любом z не принадлежащим Q:
P_z{∪[(θ^R = ∞)∪(η^Q < θ^R)]} = 1

Определение 1. Процесс z_t с начальным состоянием z₀ = z ограничен по вероятности, если

lim inf P_z{||z_t|| < c} = 1. (1)

Определение 2. Процесс z_t с начальным состоянием z₀ = z ограничен в среднем по времени, если

lim inf 1/t∫P{||z_s|| < c}ds = 1. (2)

Очевидно, что регулярность является необходимым условием ограниченности в смысле определений 1 и 2. Из ограниченности процесса по вероятности следует, его ограниченность в среднем по времени, но, вообще говоря, не наоборот.

Ниже мы подробно рассмотрим лишь свойство ограниченности в среднем. Обобщение на случай ограниченности по вероятности будет дано без доказательства, которое почти дословно совпадает с приведенным в предыдущем посте.

Рассмотрим введенные в достаточных условиях регулярности (b, а) — циклы процесса z_t. Именно, пусть 0 < а< b, и пусть τ₀⁽¹⁾ — момент первого достижения траекторией процесса z_t множества {||z|| < а}, τ₁⁽ⁱ⁾ — момент первого (после τ₀⁽ⁱ⁾) выхода траектории процесса z_t из множества {||z|| < b}, i ≥ 1, τ₀⁽ⁱ⁾ — момент первого (после τ₁^(i-1)) достижения траекторией процесса z_t множества {||z|| < a}, i ≥ 2. Полуинтервалы вида [τ₁⁽ⁱ⁾, τ₁⁽ⁱ⁺¹⁾) называются (b, а)-циклами процесса z_t.

Во избежание различных оговорок, предположим, что выполнено равенство

inf P_z{θ^b < ∞}= 1.

Легко понять, что это предположение не ограничивает общности.

Для каждого z∈Z введем случайную величину η_b^a(z) по формуле

η_b^a(z) = η^a(z), ||z|| ≥ a. (2)

η_b^a(z) = τ₀² — τ₁¹, ||z|| < a. (2)

т. е. при ||z|| ≥ a определяемая величина равна времени η^a(z) первого достижения множества {||z|| < a}, а при ||z|| < a величина η_b^a(z) равна времени «возвращения» траектории процесса z_t в множество {|z|| < a}, отсчитываемому с момента начала очередного цикла. В случае дискретного времени в аналогичной ситуации достаточно было рассматривать просто время возвращения. Теорема 2. Пусть существует неотрицательная функция V∈D_A* такая, что выполнены следующие условия:

1) V_c = sup V(z) < ∞ при любом c > 0;
2) v_c = inf V(z) → ∞ при С → ∞;
3) существуют числа а, b(0 < а < b), Δ > 0 такие, что
а) Δ₁^V(z) ≤ -Δ, ||z|| ≥ a, z∈Z,
б) Δ₂^V(z) ≤ 0, ||z|| ≥ a, z∈Z*,
в) для некоторых 0 < ε <1 и θ* > 0
sup P_z{θ^b ≤ θ*} < ε г) sup M_zV(z₁¹) ≤ v* < ∞, д) семейство случайных величин η_b^a(z), |z| < a, равномернее интегрируемо. Тогда процесс z_t с произвольным начальным состоянием z₀ = z∈Z ограничен в среднем по времени.

Теорема 3. Если выполнены все условия (кроме Зд)) теоремы 2 и, кроме того, семейство случайных величин η_b^a(z), ||z|| < a, ультраравномерно интегрируемо, то процесс z_t с произвольным начальным состоянием z₀ = z∈Z ограничен по вероятности.

Изменения, которые необходимо произвести в доказательстве теоремы 2 для доказательства теоремы 3, аналогичны соответствующим изменениям, произведенным в ограниченности для процессов с дискретным временем.

Как следует из результатов достижимости для КЛП, условия равномерной и ультраравномерной интегрируемости в теоремах 2 и 3 соответственно могут быть также сформулированы в терминах пробных функций (аналогичные результаты приведены в следствии 1 теоремы 2 и следствии 1 теоремы 3).

Следующая теорема раскрывает взаимосвязь между свойством достижимости и существованием у процесса z_t стационарного распределения.

Рассмотрим введенную выше «вложенную» цепь Маркова z_n⁰. Обозначим через P⁰{z; •} ее переходную функцию, т. е.

P⁰{z; B}=P{z_n+1⁰∈B|z_n⁰ = z}.

Теорема 4. Пусть у цепи Маркова {z_n⁰ существует стационарное распределение μ*, т.е.

∫μ*(dz)P⁰(z; B) = μ*(B) для любого B⊂{||z|| < a} и

sup M_zτ₀⁽²⁾ < ∞. (24)

Тогда у процесса z_t существует стационарное вероятностное распределение μ.

Целесообразно отметить, что распределение μ, может быть эффективно построено с помощью μ*, причем это построение имеет весьма наглядную интерпретацию.

Пусть В⊂Z. Обозначим через τ_i^B суммарное время, проводимое процессом z_t в множестве В на полуинтервале [τ₀⁽ⁱ⁾, τ₀⁽ⁱ⁺¹⁾). Если начальное состояние процесса z_t распределено по закону μ*, то величины τ_i^B, i > 1, распределены одинаково. В этом случае нижний индекс i будем опускать. Рассмотрим при каждом В⊂Z величину

v(B)= ∫μ*(dz)M_zτ^B,

равную среднему времени, проводимому процессом z_t на полуинтервале [τ₀⁽ⁱ⁾, τ₀⁽ⁱ⁺¹⁾) в множестве В при начальном распределении μ*. Конечность величин v(B) гарантируется условием (24). Тогда стационарное распределение μ, упоминаемое в теореме 4, можно выбрать в виде

μ(В) =v(B)/v(Z). (25)

Распределение (25) играет важную роль при рассмотрении закона больших чисел.

Комментарии запрещены.