Мы сохраним в этом посте основные обозначения принятые ранее. Именно, будет рассматриваться случайный момент времени η_Q* первого достижения множества Q, определяемый формулой

η_Q = inf {t:z_t∈Q, t>0}.

Повсюду в этом посте будет предполагаться, что z₀ = z не принадлежит Q, поскольку, если в случае дискретного времени при z₀∈Q величина η_Q представляла собой время первого возвращения в множество Q, то для непрерывного времени случайный момент первого возвращения следует определять другим способом.

Определение 1. Пусть G(t), t ≥ 0,— некоторая неотрицательная функция. Назовем множество Q⊂Z G-достижимым из точки z не принадлежащим Q, если

M_zG(η_Q) < ∞. (2)

Определение 2. Множество Q⊂Z назовем достижимым из точки z не принадлежащим Q, если

M_zη_Q < ∞ (3)

Наряду с процессом z_t рассмотрим «расширенный» процесс x_t = (z_t, t). Пусть Δ₁^V(z), z∈Z, Δ₂^V(z), z∈Z*,— функции, определяющие процесс 2, (см. Процесс, построенный на последовательности необрывающихся процессов). Величины, относящиеся к процессу x_t, будем отмечать крышкой сверху.
В силу равенства

A*W(z,t) = ∂W(z, t)/∂t + AW(z,t),

имеем для W∈D_A

Δ₁^W(z,t) = ∂W(z, t)/∂t + Δ₁^W(z,t)

где Δ₁^W — результат действия оператора А∈D*_А на функцию W(z, t), рассматриваемую как функция аргумента z.

Теорема 1. Пусть G(t), t ≥ 0 — неотрицательная неубывающая функция. Предположим, что при всех t ≥ 0 существует непрерывная функция g(t) = — dG(t)/dt . Тогда для G-достижимости множества Q из любой точки z не из Q необходимо и достаточно существования функции W∈D*_A, удовлетворяющей при некотором условиям:

1) sup Δ₁^W(z, t) ≤ 0, t ≥ t₀, z∈Z\Q,
2) sup Δ₂^W(z, t) ≤ 0, t ≥ t₀, z∈(Z\Q)*,
3) G(t) ≤ inf W(z, t + t₀).

Следствие 1. Для достижимости множества Q⊂Z необходимо и достаточно существования неотрицательной функции V(Z)∈D_A*, удовлетворяющей при некотором Δ > 0 неравенству

Δ₁^V(z) < Δ, z∈Z\Q, Δ₂^V(z) < -0, z∈(Z\Q)*,.

Комментарии запрещены.