Образовательный блог – всё для учебы

Мы сохраним в этом посте основные обозначения принятые ранее. Именно, будет рассматриваться случайный момент времени ?_Q* первого достижения множества Q, определяемый формулой

?_Q = inf {t:z_t?Q, t>0}.

Повсюду в этом посте будет предполагаться, что z₀ = z не принадлежит Q, поскольку, если в случае дискретного времени при z₀?Q величина ?_Q представляла собой время первого возвращения в множество Q, то для непрерывного времени случайный момент первого возвращения следует определять другим способом.

Определение 1. Пусть G(t), t ? 0,— некоторая неотрицательная функция. Назовем множество Q?Z G-достижимым из точки z не принадлежащим Q, если

M_zG(?_Q) < ?. (2)

Определение 2. Множество Q с: Z назовем достижимым из точки z не принадлежащим Q, если
M_z?_Q < ? (3)

Наряду с процессом z_t рассмотрим «расширенный» процесс x_t = (z_t, t). Пусть ?₁^V(z), z?Z, ?₂^V(z), z?Z*,— функции, определяющие процесс 2, (см. Процесс, построенный на последовательности необрывающихся процессов). Величины, относящиеся к процессу x_t, будем отмечать крышкой сверху.
В силу равенства

A*W(z,t) = ?W(z, t)/?t + AW(z,t),

имеем для W?D_A

?₁^W(z,t) = ?W(z, t)/?t + ?₁^W(z,t)

где ?₁^W – результат действия оператора А?D*_А на функцию W(z, t), рассматриваемую как функция аргумента z.

Теорема 1. Пусть G(t), t ? 0 — неотрицательная неубывающая функция. Предположим, что при всех t ? 0 существует непрерывная функция g(t) = – dG(t)/dt . Тогда для G-достижимости множества Q из любой точки z не из Q необходимо и достаточно существования функции W?D*_A, удовлетворяющей при некотором условиям:

1) sup ?₁^W(z, t) ? 0, t ? t₀, z?Z\Q,
2) sup ?₂^W(z, t) ? 0, t ? t₀, z?(Z\Q)*,
3) G(t) ? inf W(z, t + t₀).

Следствие 1. Для достижимости множества Q?Z необходимо и достаточно существования неотрицательной функции V(Z)?D_A*, удовлетворяющей при некотором ? > 0 неравенству

?₁^V(z) < -?, z?Z\Q,
?₂^V(z) < -?, z?(Z\Q)*,.

1. Достижимость для процессов с дискретным временем
2. Оценки в случае непрерывного времени
3. Ограниченность для КЛП
4. Достаточные условия регулярности
5. Постановка задачи оценки распределения момента первого достижения
6. Определение ?(?) – функций, кусочно-линейной функции
7. Ограниченность для процессов с дискретным временем
8. Процесс, построенный на последовательности необрывающихся процессов
9. Марковские процессы с дискретным временем
10. Множества и операции над ними
11. Кусочно-линейные марковские процессы с непрерывным временем
12. Сравнение мощностей. Теорема Кантора-Бернштейна.
13. Равномерно интегрируемые случайные величины
14. Теоремы достижимости и ограниченности
15. Функции и отношения, их свойства
16. Оценка скорости сходимости в теореме восстановления
17. Свойство регулярности. Необрывающиеся процессы