Достижимость для КЛП

Мы сохраним в этом посте основные обозначения принятые ранее. Именно, будет рассматриваться случайный момент времени ηQ* первого достижения множества Q, определяемый формулой

ηQ = inf {t:zt∈Q, t>0}.

Повсюду в этом посте будет предполагаться, что z0 = z не принадлежит Q, поскольку, если в случае дискретного времени при z0∈Q величина ηQ представляла собой время первого возвращения в множество Q, то для непрерывного времени случайный момент первого возвращения следует определять другим способом.

Определение 1. Пусть G(t), t ≥ 0,— некоторая неотрицательная функция. Назовем множество Q⊂Z G-достижимым из точки z не принадлежащим Q, если

MzG(ηQ) < ∞. (2)

Определение 2. Множество Q⊂Z назовем достижимым из точки z не принадлежащим Q, если

MzηQ < ∞ (3)

Наряду с процессом zt рассмотрим «расширенный» процесс xt = (zt, t). Пусть Δ1V(z), z∈Z, Δ2V(z), z∈Z*,— функции, определяющие процесс 2, (см. Процесс, построенный на последовательности необрывающихся процессов). Величины, относящиеся к процессу xt, будем отмечать крышкой сверху.
В силу равенства

A*W(z,t) = ∂W(z, t)/∂t + AW(z,t),

имеем для W∈DA

Δ1W(z,t) = ∂W(z, t)/∂t + Δ1W(z,t)

где Δ1W — результат действия оператора А∈D*А на функцию W(z, t), рассматриваемую как функция аргумента z.

Теорема 1. Пусть G(t), t ≥ 0 — неотрицательная неубывающая функция. Предположим, что при всех t ≥ 0 существует непрерывная функция g(t) = — dG(t)/dt . Тогда для G-достижимости множества Q из любой точки z не из Q необходимо и достаточно существования функции W∈D*A, удовлетворяющей при некотором условиям:

1) sup Δ1W(z, t) ≤ 0, t ≥ t0, z∈Z\Q,
2) sup Δ2W(z, t) ≤ 0, t ≥ t0, z∈(Z\Q)*,
3) G(t) ≤ inf W(z, t + t0).

Следствие 1. Для достижимости множества Q⊂Z необходимо и достаточно существования неотрицательной функции V(Z)∈DA*, удовлетворяющей при некотором Δ > 0 неравенству

Δ1V(z) < Δ, z∈Z\Q, Δ2V(z) < -0, z∈(Z\Q)*,.


Комментарии запрещены.





Статистика

Рейтинг@Mail.ru