Ограниченность для процессов с дискретным временем

Если в предыдущем посте изучались некоторые свойства времени первого возвращения траекторий zt, то здесь будут анализироваться свойства, связанные со значениями, принимаемыми процессом zt, хотя эти свойства и тесно связаны между собой.

Будет изучаться вопрос о равномерной по времени ограниченности по вероятности рассматриваемых процессов (на всем временном интервале). Задачи эти тесно связаны с вопросом существования «установившегося режима» и законом больших чисел. Они являются традиционными в теории случайных процессов и, кроме того, имеют важное практическое значение. Необходимо также отметить, что они будут нами использоваться при изучении вопросов устойчивости.

Приведем сначала теорему, являющуюся обобщением известного в теории цепей Маркова критерия возвратности.

Теорема 1. Пусть Q — некоторое подмножество Z, и пусть существует неотрицательная функция V(z), z∈Z, обладающая свойствами:

1) sup V(z) < ∞ при любом а > 0;

2) inf V(z) → ∞ при любом а → 0;

3) AVa(z) ≤ 0 при всех z∈{||z|| 0.
Тогда при любом z∈Z

Pz{∪[(θR = ∞)∪(ηQ < θQ)]} = 1, (1)

где θR — момент первого выхода из множества {||z|| < R}. Траектория процесса zt для которого выполнено равенство (I), ведут себя следующим образом. Все они либо перед «уходом в бесконечность» хотя бы раз возвращаются в множество Q, либо все время остаются в ограниченном подмножестве пространства Z.

Займемся теперь анализом ограниченности.

Определение 1. Процесс zt с начальным состоянием z0 = z ограничен по вероятности, если

lim inf Pz{||zt||< a} = 1. (6)

в порядке обсуждения определения 1 отметим, что всегда при любом t

lim Pz{||zt|| < a} = 1. (7)

Утверждение (7) означает, лишь, что значение процесса zt (с дискретным временем) в любой фиксированный момент времени t с вероятностью 1 лежит в ограниченной части пространства Z. Иначе говоря, распределение случайного элемента zt собственное. Определение 1 требует, чтобы это свойство выполнялось равномерно по t в том смысле, что для любого ε > 0 должна существовать такая постоянная а, для которой при всех t имеет место неравенство

Pz{||z|| < a} ≥ 1 - ε. (8)

Тривиальным примером процесса, удовлетворяющего (7), но не являющегося равномерно ограниченным, является zt = t, t = 0, 1, …

Полезно отметить, что в случае существования собственного финального распределения

Pz*(B) = lim Pz{zt∈B}, Pz*(Z) = 1. (9)

ограниченность по вероятности при начальном состоянии z имеет место. В самом деле, зададимся числом ε > 0. Найдем (в силу (9)) такое число a1, что

Pz*(B(a1)) > 1 — ε/2, (10)

где B(a1) = {z : ||z|| < a1}. Вновь в силу (9) и (10) существует такое число t*, что при всех t ≥ t*

Pz{||zt|| < a1} > 1 — ε. (11)

Найдем теперь такое число a2, чтобы при всех t < t* имело место неравенство

Рz{||zt|| < a2} > 1 — ε. (12)

Из (11) и (12) находим, что при всех t справедливо неравенство (8), если положить а = а1∨a2.

Если же процесс ограничен по вероятности, то у него не обязательно существует финальное распределение. Примером может служить конечная неприводимая периодическая цепь Маркова. Введем еще одно определение.

Определение 2. Процесс zt с начальным состоянием z0 = z ограничен в среднем по времени, если

lim inf 1/t ∑Pz{||zt|| < a2}= 1. (13)

Ограниченность в смысле определения 2 требует, чтобы доля времени, которую процесс на интервале (0, t) проводит вне множества ||z|| < а, стремилась к нулю при а → ∞ равномерно по t. Очевидно, что из ограниченности по вероятности следует ограниченность в среднем по времени, но не наоборот. Обозначим ηa(z) момент первого достижения множества {||z|| < а} траекторией процесса zt при начальном состоянии z.

Теорема 2. Для ограниченности в среднем по времени процесса 2, при любом начальном состоянии z∈Z достаточно выполнения следующих условий:

1) существует неотрицательная функция V(z), z∈Z, V∈DA;
2) sup V(z) < ∞ при любом а > 0;
3) inf V(z) → ∞ при любом а → 0;
4) существуют числа b > 0, Δ > 0, v* > 0 такие, что:
а) sup AV(z) ≤ — Δ,
б) sup AV(z) ≤ v* < ∞, в) семейство случайных величин ηb(z), ||z|| < b, равномерно интегрируемо. Отметим, что из ее условий, если выбрать Q = {||z|| < b}, следует выполнение всех условий теоремы 1. Следовательно, либо каждая траектория процесса zt лежит в ограниченной части пространства Z, либо она перед «уходом в бесконечность» хотя бы раз побывает в множестве Q. Налагаемые теоремой 2 дополнительные (по сравнению с теоремой 1) ограничения на процесс 2, еще более сужают класс возможных траекторий.

Теорема 3. Выполнения условий 1)—3), 4а), б) теоремы 2 и требования ультраравномерной интегрируемости семейства случайных величин ηb(z), ||z||< b, достаточно для ограниченности по вероятности процесса zt при любом начальном состоянии zc = z∈Z.

Замечание. В рамках данных конструкций остается невыясненным вопрос о том, выполнено ли утверждение теоремы 3 в условиях теоремы 2. По-видимому, ответ на этот вопрос положителен в достаточно широких предположениях, однако это утверждение нуждается в доказательстве.

Следствие 1 теоремы 2. Утверждение теоремы 2 останется в силе, условие 4а) заменить следующим:

sup MG(|ΔV(z)|) < ∞. (24)

Следствие 1 теоремы 3. Утверждение теоремы 3 останется в силе, если выполнены условия 1)—3), 4а), б) теоремы 2 и существует функция G∈Ψ*, для которой выполнено соотношение (24).

Можно получить и другие достаточные условия равномерной и ультраравномерной интегрируемости, если воспользоваться, например, следствием 2 теоремы 2.2. Эти возможности будут проиллюстрированы на примерах.


Комментарии запрещены.





Статистика

Рейтинг@Mail.ru