В этом посте мы обобщим результаты, полученные ранее, на случай кусочно-линейных процессов. Вновь Q будет обозначать открытое множество в пространстве состояний Z, а θ^Q — момент первого выхода из указанного множества. Как было доказано ранее (это доказательство без изменений переносится и на непрерывное время), при τ = θ^Q∧u имеет место равенство

M_z[1 — χ_Q(z_τ)] = P_z{θ^Q≤u}.

Основой для оценок служит формула (1.3.9). Перепишем ее для случая, который будет использован. Именно, пусть u — фиксированный момент времени, τ = θ^Q∧u, V∈D_A. Тогда

M_zV(z_τ) = V(z) + M_z∫Δ₁^V(z_s)ds + M_z∑Δ₂^V(z_n*) (2)

где величины Δ₁^V(z) и Δ₂^V(z) введены при определении множества D_A.

Лемма 1. Если V∈D_A, V(z) = 1 при z не принадлежит Q и τ = θ^Q∧u, то

P_z{θ^Q≤u} = V(Z) + M_z∫Δ₁^V(z_s)ds + M_z∑Δ₂^V(z_n*) — M_z{V(z_uθ^Q > u}. (3)

Доказательство следует из формулы (2).

Дадим теперь ряд оценок функции распределения P_z{θ^Q ≤ t}. Здесь мы ограничимся лишь формулировками и доказательствами соответствующих результатов.

Теорема 1. Пусть существует функция V(z), z∈Z, удовлетворяющая условиям:
1) V∈D_A,
2) V(z) ≥ 1 — χ_Q(z), z∈Z, inf V(z) = V_— < 1, 3) Δ₁^V(z) ≤ Δ₁*, Δ₁* ≥ 0, z∈Q,
4) Δ₁^V(z) ≤ Δ₁*, Δ₂* ≥ 0, z∈Q*.

Тогда

P_z{θ^Q ≤ t} ≤ V(z) + Δ₁t* + Δ₂M_z(θ^Q∧t). (4)

Доказательство следует из формул (1), (2).

Теорема 2. Пусть существует функция V(z), z∈Z, удовлетворяющая условиям:
1) V∈D_A,
2) V(z) ≥ 1 — χ_Q(z), z∈Z,
3) Δ₁^V(z) ≤ aV(z) при некотором a > 0,
4) Δ₁^V(z) ≤ 0, z∈Q*.

Тогда

P_z{θ^Q ≤ t} ≤ V(z)e^at

Доказательство. Рассмотрим наряду с процессом z_t процесс, остановленный в момент первого выхода из Q. Обозначим его z_t*, т. е.

z_t* = z_t, t < θ^Q,
z_t* = z_θQ, t ≥ θ^Q,

и все величины, относящиеся к нему, будем отмечать сверху
волной. Тогда

Δ₁*(z) = Δ₁^V(z), z∈Q,
Δ₁*(z) = 0, z∈Z\Q,

Δ₂*(z) = Δ₂^V(z), z∈Q*,
Δ₂*(z) = 0, z∈Z*\Q*,

Таким образом, если пробная функция V удовлетворяет условиям данной теоремы для процесса z_t, то оно с необходимостью удовлетворяет этим же условиям для процесса z_t.
Пусть τ = θ^Q∧t. Тогда

P_z{θ^Q ≤ t} ≤ M_zV(z_θ) = M_zV(z_t*). (6)

Но в силу формулы (2), примененной к процессу z_t* и моменту τ=t,

M_zV(z_t*) ≤ V(z) + ∫aM_zV(z_s*)ds. (7)

Из (7) следует, что M_zV(z_t*), как функция t, удовлетворяет неравенству

MV(z_t*) ≤ V(z)e^at. (8)

Сопоставляя неравенства (6) и (8), получаем утверждение теоремы.

В следующих теоремах 3—7 даются двусторонние оценки функции P_z{θ^Q ≤ t}. Однако их условия являются довольно жесткими для кусочно-линейных процессов с дискретным вмешательством случая, так что оценки для КЛП, получаемые с помощью данных теорем, не имеют универсального характера.

Теорема 3. Пусть существует функция V (z), z∈Z, удовлетворяющая условиям:
1) V∈D_A*,
2) -∞ < V_— ≤ inf V (z) ≤ sup V (z) ≤ V₊ < 1, 3) V (z) = 1 при z не принадлежит Q, 4) Δ₁^V(z) = Δ = const при z∈Q,
5) Δ₂^V(z) = 0 при z∈Q*.

Тогда

1 — (1 — V(z))/(1 — V₊)exp(-Δt/(1-V_—) ≤ P_z{θ^Q ≤ t} ≤
1 — (1 — V(z))/(1 — V_—)exp(-Δt/(1-V₊)

Теорема 4. В условиях теоремы, 3 (однако можно допустить V_— = -∞) справедливо равенство

M_zθ^Q = (1 — V(z))/Δ. (12)

Доказательство повторяет дословно доказательство теоремы 2.4, с той лишь разницей, что вместо формулы (1.3.9) необходимо использовать формулу (2), в которой следует положить τ = θ^Q.

Теорема 5. Пусть существует функция V(z), z∈Z, удовлетворяющая условиям 1)—3) и 5) теоремы 3 и, кроме того,

0 < Δ_— ≤ Δ₁^V(z) ≤ Δ₊ < ∞, z∈Q. (13)

Тогда

1 — (1 — V(z))/(1 — V₊)exp(-Δ_—t/(1-V_—) ≤ P_z{θ^Q ≤ t} ≤
1 — (1 — V(z))/(1 — V_—)exp(-Δ₊t/(1-V₊). (15)

Теорема 6. Пусть существует функция V(z), z∈Z, удовлетворяющая условиям:
1) V∈D_A*,
2) max V(z) = 1,
3) V(z) ≥ 1 — χ_Q(z), z∈Z,
4) Δ₁(z) = R[1 — V(z)], z∈Q,
Δ₁(z) = 0, z∈Q*. (16)

Тогда

P_z{θ^Q ≤ t} ≤ 1 — e^-Rt[1 — V(z)]. (17)

Доказательство. Как и при доказательстве теоремы 2, рассмотрим наряду с процессом z_t процесс z_t*, остановленный в момент первого выхода из Q. Тогда в силу условий данной теоремы все утверждения теоремы 2 до формулы (6) включительно остаются справедливыми. В то же время из формулы (2) с помощью (16) следует, что

M_zV(z_t*) = V (z) + R∫M_z[1 — V(z_s*]ds. (18)

Решая линейное уравнение (18) относительно функции M_zV(z_t*), рассматриваемой как функция времени, находим, что

M_zV(z_t*) = 1 — e^-Rt[1 — V(z)].

Отсюда в силу (6) получаем доказываемое неравенство (17),

В случае непрерывного времени также возможно получение асимптотических неравенств.

Комментарии запрещены.