Пусть Т= {0, 1, 2, …}, z_t — однородный марковский процесс с пространством состояний Z. Обозначим через θ_Q(z) индикатор множества Q:

θ_Q(z) = 0, если z не принадлежит Q;
θ_Q(z) = 1, если z∈Q; (1)

Как уже отмечалось, момент μ^Q первого выхода из Q является марковским для процесса z_t. Пусть u ≥ 0 — некоторое фиксированное число. Тогда и μ = θ^Q

Теорема 1. Пусть существует функция V(z), z∈Z, удовлетворяющая условиям:
1) V∈D_A(Q),
2) V(z) ≤ 1 — θ_Q(z), z∈Z;
3) AV(z) ≥ λ, z∈Q, где λ — некоторая постоянная. Тогда

P_z{θ^Q ≥ t} ≤ V(z) + Δt. (6)

Доказательство. Легко видеть, что величина λ в условии теоремы 1 может быть лишь неотрицательной. Следовательно. λ ≥ 0. Теперь доказательство следует из формулы (4).

Теорема 2. Пусть существует функция V(z), z∈Z, удовлетворяющая условиям:
1) V∈D_A(Q),
2) V(z) ≤ 1 — θ_Q(z), z∈Z;
3) AV(z) ≤ aV{z) при некотором a > 0, z∈Q. Тогда

P_z{θ^Q ≥ t) ≤ V(z) (1 +a)^t.

Теорема 3. Пусть существует функция V(z), z∈Z, удовлетворяющая условиям:
1) -∞< V_— ≤ inf V(z) ≤ supV(z) ≤ V₊ < 1, 2) V(z) = 1 при z не принадлежит Q, 3) AV(z) = Δ = const npu z∈Q. Тогда справедлива двусторонняя оценка. Теорема 4. В условиях теоремы справедливо равенство

M_zθ^Q = (1 — V(z))/Δ

Теорема 5. Пусть существует функция V(z), z∈Z, удовлетворяющая условиям 1) и 2) теоремы 3 и для которой

0 < Δ_— ≤ AV(z) ≤ Δ₊ < ∞, z∈Q. (13)

Теорема 6. Пусть существует функция V, удовлетворяющая условиям:
1) max V(z) = 1,
2) V(z) ≥ 1 — χ_Q(z), z∈Z,
3) AV(z) ≤ R[ 1 — V(z)], z∈Q. (16)

P_z{θ^Q ≤ t} ≤ 1 — (1 — R)^t[1 — V(z)]. (17)

Доказательство. Легко показать (аналогичное рассуждение см. в доказательстве теоремы 1), что R ≥ 0. Покажем теперь, что без ограничения общности можно считать, что R ≤ 1. В самом деле, пусть условие (16) выполняется при R > 1. Тогда для тех точек z∈Q, В которых V(z) = 1, оно выполнено для любого числа, в том числе и меньшего. Предположим теперь, что не существует такого числа R₀ ≤ 1, для которого выполнено условие (16) в множестве {z∈Q, V(z) < 1}. Тогда существует точка z₀∈Q, V(z₀) < 1, такая, что (1+R)/2 [1 - V (z₀)] < AV (z₀),
где R > 1. Следовательно, с одной стороны, в силу условия 1) данной теоремы, M_z0V ≤ 1, с другой же стороны,
M_z0 = V (z₀) + AV (z₀) > 1.

Из полученного противоречия следует, что можно положить R ≤ 1.

Утверждение теоремы доказывается по индукции совершенно аналогично теореме 2.

Приведенные теоремы дают различные оценки распределения момента первого выхода. Одним из возможных путей их улучшения может быть их комбинированное применение.

Эти оценки могут использоваться в различных ситуациях. Рассмотрим случай, когда у анализируемого процесса существует стационарный режим. Иначе говоря, существует вероятностное распределение Р⁰(•), удовлетворяющее соотношению

Р⁰(•) = ∫Р⁰(dz)P(z; •)• (18)

Задачей является оценка функции распределения момента первого выхода траектории процесса из множества Q в стационарном режиме. Именно, пусть

K=Р⁰(Q). (19)

Теорема 7. Пусть Р⁰ — стационарное распределение процесса z_t, и пусть существует функция V, удовлетворяющая условиям:
1) V(z)∈D_A(Q),
2) V(z) = 1 при z не принадлежит Q,
3) AV(z) = Δ при z∈Q, Δ > 0,
4) ∫|V(z)|Р⁰ (dz) < ∞. Тогда

|P*{θ^Q ≤ t} — 1 + (1 — Δ)^t| ≤ 2/K|V(z)|Р⁰(dz). (21)

Эта теорема может эффективно использоваться в ситуациях, когда стационарное распределение процесса «концентрируется» около нулевых значений пробной функции V. Для ее применения необходимо знать по крайней мере оценки распределения Р⁰.

Отметим некоторые существенные особенности полученных оценок. Они справедливы при всех значениях аргумента t у функции распределения P_z{θ^Q ≤ t}. При этом, в отличие, скажем, от «типичных» результатов асимптотического анализа, оценивается распределение ненормированных величин. Никаких предположений о характере режима работ системы (высоконадежная система, система с малой загрузкой, система с быстрым восстановлением и т. п.) не делалось. С другой стороны, в ряде случаев (или при некоторых режимах) полученные оценки могут быть грубыми. Поэтому одной из важных задач является анализ точности предлагаемых оценок. Если оценки двусторонние, то естественной мерой точности является расхождение между верхней и нижней границами. Однако не всегда удается построить достаточно точные двусторонние оценки. Иногда приходится довольствоваться односторонними оценками. При этом косвенным признаком точности оценки может служить ее согласие с асимптотическим распределением в тех случаях, когда такое распределение известно. Для того чтобы можно было пользоваться таким способом, необходимо полученные оценки привести к виду, «типичному» для асимптотической теории, что может также позволить в ряде случаев получать предельные теоремы. Опишем соответствующую конструкцию. Пусть задано параметрическое семейство случайных процессов z_t(α) со значениями из одного множества Z, т. е. каждому значению а соответствует свой процесс, который является однородным марковским. Для простоты изложения предположим, что α — числовой параметр, α > 0. Это предположение часто выполнено в конкретных примерах и несущественно для дальнейшего1). Будем рассматривать поведение этого семейства при значениях α, близких к 0. Все величины, относящиеся к процессу z_t(α), будем снабжать индексом α. Пусть θ^Q_α— время первого выхода процесса z_t(α) из множества Q. Рассмотрим часто встречающуюся ситуацию, когда при любых фиксированных t и z∈Q

lim P_z{θ^Q_α ≤ t} =0.

Такой случай имеет место, например, при анализе высоконадежных систем, когда изучается, скажем, резервированная система с восстановлением, α — параметр, характеризующий ненадежность системы (величина, обратная числу резервных элементов, или среднему времени безотказной работы каждого элемента, и т. п.), а z_t(α)—процесс, описывающий систему с параметром α. Предположим, что для каждого а из некоторой окрестности нуля построены одно- или двусторонние оценки.

Под этим здесь подразумевается, что для каждого процесса z_t(α) построена пробная функция V^α(z), z∈Z, удовлетворяющая какой-либо из вышеприведенных теорем, и с помощью оценок вида (6) —(8), (14), (17), (21) построены оценки вида (24). При этом нижняя и верхняя оценки m и m* зависят фактически и от вида пробной функции V^α.

Комментарии запрещены.