Цель настоящего примера — показать, как свойство достижимости может быть использовано в несколько необычной ситуации— для оценки скорости сходимости. Пусть {ξ_i} — последовательность независимых одинаково распределенных случайных величин, принимающих следующие значения:
S_n = ∑ξ_i, n ≥ 1; a(t) = P {ξ_i=t}, H(t) = P {ξ_i≥t}; h(t) = P{∪(S_i = t)}, t = 1,2 ..

Все случайные величины, которые будут встречаться в данном примере, будут принимать лишь натуральные значения. Поэтому это всякий раз оговариваться не будет. Пусть Г = {t:a(t) >0}— «носитель» распределения {a(t)}. Предположим, что наибольший общий делитель (НОД) чисел из Г равен 1, т. е. имеет место «непериодический» случай. Часто величины ξ_i интерпретируют как интервалы между рекуррентными событиями. Тогда h(t) есть вероятность наступления рекуррентного события в момент t. Момент наступления рекуррентного события назовем моментом восстановления, а процесс {S_n} — процессом восстановления. Пусть

Mξ_i = μ < ∞.

Хорошо известно, что в сделанных предположениях функция h(t) имеет предел при t → ∞ и

lim h(t) = μ^-1.

Впрочем, этот факт будет попутно доказан. Оценим |h(t) — μ^-1|.
Рассмотрим для этого еще одну последовательность независимых случайных величин {ξ_i}; σ_n = ∑ζ_i, n ≥ 1.

Так построенный процесс {σ_n} является стационарным процессом восстановления, и для него u(t) = μ^-1. Это по индукции следует из рекуррентных соотношений

u(1) = b(1) = 1/μ.

Поэтому задача оценки |h(t) — μ^-1| эквивалентна оценке |h(t) — u(t)|.

Пусть I₊ = {1, 2, …}. Свяжем с рассматриваемыми последовательностями однородную цепь Маркова z_t с множеством значений Z = I₊xI₊, z_t = (x_t, у_t). Координаты x_t и у_t — это времена, оставшиеся до «моментов восстановления» в процессах {S_n} и {σ_n} соответственно. Иными словами, если x_t = х, y_t = у, то момент t + x является ближайшим моментом восстановления для первого процесса, a t + y — для второго.

Цепь Маркова z_t зададим парой рекуррентных соотношений

x_t+1 = F(x_t, η_t), y_t+1 = F(y_t, η_t),

где {η_t} — последовательность независимых одинаково распределенных случайных величин, Р {η_t = k} = a(k), а начальное состояние (х₀, у₀) является случайным распределением.

Выбор начального распределения не является обязательным и служит лишь целям минимизации получаемых оценок. Можно показать, что величина М|х₀ — у₀| достигает минимума именно при заданном совместном распределении (эти вопросы рассматриваются в следующих постах) и

М|х₀ — у₀| = ∑|H(t) — U(t)|.

Из рекуррентных соотношений, определяющих цепь Маркова (x_t, y_t), следует, что множество состояний L = {(х, у) : х = у∈I₊} является замкнутым для рассматриваемой цепи, т. е. если х_a = у_a в некоторый момент τ, то x_t = y_t при всех t ≥ τ с вероятностью 1.

Из построения цепи следует, что координаты х и у действительно имеют смысл остаточных времен до точек восстановления и справедливы равенства

h(t) = Р{x_t-1 = 1}, t ≥ 1,
u(t) = P{y_t-1 = 1}, t ≥ 1.

|h(t) — u(t)| ≤ P{x_t-1 ≠ y_t-1}. (41)

Обозначим через θ момент первого достижения траекторий процесса z_t множества L. В силу замкнутости L

P{x_t-1 ≠ y_t-1} =Р{θ ≥ t). (42)

Таким образом, задача свелась к оценке распределения момента первого достижения θ.

Для сокращения записи обозначим Р⁰{•} = Р{•; х₀ ≠ y₀}, M⁰{•} = M{•; х₀ ≠ y₀} и оценим Р{θ ≥ t) с помощью неравенства Чебышева

P{θ ≥ t} ≤ 1/t [M⁰{θ; x₀ ∨ y₀ t } + tP⁰{x₀ ∨ y ≥ t}]

Комментарии запрещены.