Один из способов анализа немарковского процесса состоит в расширении пространства его состояний, для того, чтобы включить в понятие состояния всю ту информацию о предыстории исходного процесса, которой полностью определяется его будущее течение. Иногда такая информация может быть задана в виде конечномерного вектора. Именно такому способу анализа немарковских процессов и обязана своим возникновением схема кусочно-линейных марковских процессов (КЛП).

Введем необходимые понятия. Множество Т рассматриваемых моментов времени имеет вид Т = [0, ∞]. Состояние процесса в момент времени t∈T обозначим z_t. Каждое состояние z имеет вид z= (у, z^v), где первая компонента v принимает значения из множества N = {0, 1, …}.
Замечание. Иногда удобно вместо множества целых чисел рассматривать какое-либо другое конечное или счетное множество. Такое изменение, конечно, не принципиально, поскольку любое счетное множество можно взаимно однозначно отобразить на множество натуральных чисел.

Число элементов множества N может быть конечным или счетным. Каждому элементу v∈N поставим в соответствие целое неотрицательное число |v| и пространство R_v^|v|-мерных действительных векторов с какой-либо из метрик, описанных ранее. В каждом R_v^|v| зададим открытое выпуклое множество (без границы) Г_v. Будем допускать случай, когда |v| =0 для некоторых v∈N. При этом множество Г_v и другие объекты, сопутствующие координате z^v, не определяются, а само состояние z отождествляется с первой компонентой: z = v. Компоненту v назовем основным состоянием, вектор z^v — вектором дополнительных координат, а величину |v| — рангом основного состояния v. Множество основных состояний, имеющих ранг n, будем обозначать N(n), N = ∪N(n). Обозначим через Г_v* замыкание множества Г_v в пространстве R_v^|v|, а через Г_v** — границу множества Г_v, Г_v** = Г_v*\Г_v. Будем считать, что вторая компонента z^v вектора z
принимает значения из множества Г_v. Таким образом, пространство состояний Z представляет собой множество всевозможных пар (v, z^v), где z^v∈Г_v, v ∈ N.

Введем в Z расстояние p_z следующим образом. Пусть z = (v, z^v), z’ = (μ, z^μ). Тогда
p_z (z, z’) = [(v — μ)² + ∑ (z^v(i) — z^μ(i))²]^1/2 (1)

Здесь z^v = (z^v(1), …, z^v(|v|)), z^μ = (z^μ(1), …, z^μ(μ)). Поскольку величины |v| и |μ| конечны, то считается, что в сумме, стоящей под знаком радикала, z^v(i) = 0, i > |v|, z^μ(j) = 0, j > |μ|. Будем также обозначать при z = (v, z^v)

||z|| = [v² + ∑(z^v(i))²]^1/2.

Иногда удобнее рассматривать другие (эквивалентные в смысле сходимости) метрики:

p_z (z, z’)= max {|v — μ|, max |z^v (i) — z^μ (i)|},

(соответственно ||z|| = max {|v, max |z^v (i)|} и
p_z(z, z’) = |v — μ| + ∑|z^v(i) — z^μ(i)|
(соответственно |z| = v + ∑|lz^v(i)l)

Обозначим Z* замыкание Z по метрике p_z, т. е. множество всевозможных пар (v, z^v) вида v∈N, z^v∈Г_v*. Очевидно, что замыкания по любой из перечисленных метрик совпадают друг с другом.

Обозначим также Z* = Z**\Z. Если множество В⊂Z то через В* будем обозначать множество В* = {z:z∈Z*, p_z(z,B) = 0}.

Опишем теперь динамику процесса z_t. Для каждого состояния z = (z, z^v)∈Z определяется интенсивность λ(z) выхода из этого состояния и скорость v^v = (v^v(1), …, v^v(v)) изменения вектора z^v Точка, изображающая состояние процесса, движется со скоростью v^v в множестве Г_v, пока не произойдет скачок. Распределение состояния после скачка зависит от точки, откуда произошел скачок. Скачок обязательно происходит, если точка выходит за границу одного из множеств Г_v (назовем его скачком вследствие дискретного вмешательства случая) Кроме того, с плотностью λ(z) происходит скачок из внутренней точки множества Z (назовем его скачком вследствие непрерывного вмешательства случая). Предположим сначала, что функция λ(v, z^v), рассматриваемая как функция z^v кусочно-непрерывна в Г_v и кроме того,

Λ = sup λ(z) < ∞, sup |v^v(j)|< ∞. (2)

Условие (2) является стеснительным и далее будет снято.

Состояния процесса после скачков вследствие непрерывного и дискретного вмешательств случая задаются распределениями Р¹ и Р² соответственно:

P¹{z; •}, z∈Z, P¹{z; Z} = 1, P²{z; •}, z∈Z*, P²{z; Z} = 1.

Таким образом, если z_t = z = (v, z^v)∈Z, то за «малое» время Δt могут совершиться следующие переходы: (v, z^v)→(v, z^v + v^vΔt) с вероятностью 1—λ(v, z^v)Δt + о(Δt); (v, z^v)→(μ, z^μ), z^μ ∈B⊂Г_μ с вероятностью λ(v, z^v)P⁽¹⁾{(v, z^v); {μ, R)}Δt + o(Δt).

Если lim z_s = (v, z^v) ∈ Z* (т. e. z^v∈Г_v*), то z_t, является случайным вектором, принимающим одно из значении z_t = (&mu, z^&mu), z^&mu ∈ B⊂Г_&mu, с вероятностью P⁽²⁾{(v, z^v); (&mu, В)}.

В силу наложенных ограничений из состояний, для которых |v|=0, могут совершаться лишь скачки вследствие непрерывного вмешательства случая. Условимся обрывать рассматриваемый процесс в точке накопления скачков вследствие дискретного вмешательства случая.

Пусть Q — некоторое распределение на Z, т. е. каждому множеству вида (v, В), В⊂Г_v, распределение Q приписывает вероятность Q(v, В). Ниже запись вида

∫ f(z)Q(dz)

будет использоваться для сокращения записи

∑∫ f(v, z^v)Q(v, dz^v)

Обозначим

Mⁱf(z)=∫Pⁱ{z; dy}f(y), i = 1,2. (3)

Более подробно динамика z, описывается следующим образом. Если z_t = (v, z^v), z^v∈Г_v, то z_s=(v, z^v + v^v(s-t)) при t ≤ s < t + φ∧t*. Здесь момент f* является детерминированным: t* = t*(z) = inf {u : z^v + v^vu∉Г_v, u > 0}, |v| ≠ 0, (4)
t* = ∞, |v| = 0, а φ — случайная величина с распределением

Р {φ ≤ х) = 1 — exp {-∫λ(v, z^v + v^vy) dy}.

Если φ < t*, то в момент t + φ происходит скачок процесса (непрерывное вмешательство случая), а значение z_{t + φ} является случайным и определяется распределением

P⁽¹⁾ {(v, z^v + v^vφ); •}.

Если φ ≥ t*, то в момент t+t* происходит скачок процесса (дискретное вмешательство случая), а значение z_t+t* является случайным и определяется распределением P⁽²⁾{(v, zv + uvt*); •}.

Пусть ζ(n), n ≥ 0,— последовательные моменты скачков процесса z_t, вследствие дискретного вмешательства случая, ζ(0) = 0. Естественно представлять процесс z, «сшитым» из обрывающихся подпроцессов z_tⁿ так, что

z_t = z _t-ζ(n-1)ⁿ,
ζ(n-1) ≤ t < ζ(n), n ≥ 1. (5) Динамика z _tⁿ полностью определяется заданием функций λ(z) и Р⁽¹⁾, его начальное распределение определяется функцией Р⁽²⁾, а моментом обрыва является момент достижения Z*.

Таким образом, каждая траектория процесса z_t, представляет собой кусочно-линейную функцию, совершающую скачки в моменты «вмешательства случая» (дискретного и непрерывного) и определяемую лишь до первого момента накопления скачков. В силу ограниченности функции λ(z) (см. условие (2)) накапливаться могут только моменты дискретного вмешательства случая.

Несложно написать рекуррентные соотношения, определяющие переходные функции как подпроцессов z _tⁿ, так и процесса z_t, Однако здесь они не приводятся, поскольку далее не понадобятся. Отметим лишь, что в общем случае эти функции являются несобственными, поскольку рассматриваемые процессы — обрывающиеся.

Комментарии запрещены.