Усиленный закон больших чисел
16.08.2010 |Поскольку результаты данного поста использоваться далее не будут, мы их приведем без доказательства. Будет рассмотрен лишь случай непрерывного времени. Распространение на дискретное время очевидно.
Пусть μ и μ* — стационарные распределения, рассмотренные в теореме 5.4. Пусть f(z) —некоторая функция, интегрируемая по распределению μ. Рассмотрим последовательность случайных величин (ξn}, где
ξn = ∫f(zt)dt, n ≥ 1, τ0(1) = 0, (1)
причем предполагается, что начальное состояние z0 является случайным с распределением μ*. Тогда {ξn} — стационарная последовательность.
Теорема 1. Если {ξn} — метрически транзитивная последовательность, то для почти всех (по распределению μn) начальных условий
Pz {lim -1/t ∫f(zs)ds = ∫(z)μ(dz)} = 1. (2)
Утверждение теоремы 1 представляет собой формулировку закона больших чисел в усиленной форме для процесса zt.
Из теоремы 1 следует, что в принятых предположениях для любого множества В⊂Z
lim 1/t ∫P{zs∈В}ds = μ(В). (3)
Условие метрической транзитивности, требуемое в теореме 1, выполнено, если для некоторой постоянной ρ < 1 равномерно по В⊂z{||z|| < а} имеет место неравенство
|P{zn0∈B|z00 = z} — μ*(B)| < ρn. (4)
Отметим, что если рассматривать процессы, «типичные» для задач массового обслуживания, теории надежности и т. д., то для них неравенство вида (4), как правило, не выполнено, если вместо zn0 подставить значения исходного процесса. Рассмотрение «вложенного» процесса zn0 в корне меняет картину. Для него уже выполнение неравенства (4) не есть «патологический» случай. Например, для справедливости (4) достаточно существования таких множеств S⊂{||z|| < а} и целого числа N > 0, что
inf P{zN0∈S|z00 = z} > 0,
и, кроме того, чтобы у распределения Р {zN0∈S/z00 = z} при всех ||z|| < а в множестве S существовала плотность pN0(z, y) и
inf pN0(z, у) > 0.
Данное условие можно сформулировать в более общем виде, если рассмотреть вместо плотностей pN0 абсолютно непрерывные компоненты разложения распределения Р {zN0∈S|z00 = z} относительно некоторой σ-конечной меры.
