Во всех приводимых ниже примерах равномерная независимость процесса от начального состояния проверяется путем не слишком сложного построения конкретных множеств В_N для которых выполнены свойства (2.24) и (2.25).

Пример 1. Многолинейная система обслуживания с ожиданием. Рассмотрим процесс z_t введенный в примере 1.2.3:

z_t+1 = R(z_t + η_te — θ_tI)⁺. (1)

Как следует из результатов, изложенных в примере 1.2.5, данный процесс порожден кусочно-линейными преобразованиями. Вид образующих приведен в конце примера 1.2.5. Характеристическое множество для данного процесса имеет вид {0, z(1), …, z(N)}, где z(i), i = 1, …, N, — компоненты вектора z .
Если

Мη_t < N×Мθ_t, (2)

то, как следует из результатов (см. примеры в других постах), процесс z_t ограничен в среднем по времени. При условии

Р{θ_t > η_t} > 0 (3)

у процесса z_t, как нетрудно видеть, точка z = (0, …, 0) является возвратной, и в этом случае процесс z_t является регенерирующим. Если В(х) = Р {η_t ≤ x} Н(х) = Р {θ_t ≤ x}, х ≥ 0, то условие (3) можно записать в виде

∫B(x)H(dx) > 0. (4)

Однако можно показать, что для равномерной независимости процесса z_t от начального состояния достаточно выполнения лишь условия (2).

Рассмотрим функцию

v(z) = ||z|| = max |z(i)|. (5)

Но для любого набора функций (l_k(1)⁰, …, l_k(N)⁰) из характеристического множества

v(l_k(1)⁰(z), …, l_k(N)⁰(z)) ≤ max |z(i)|.

В условиях (2) у процессов z_t, z_t* существуют финальные распределения Q, Q* соответственно. Следовательно, все условия теоремы выполнены, при этом имеет место слабая устойчивость в пределе.

Пример 2. Многофазная система обслуживания с ожиданием перед каждой фазой. Система описана в примере 1.2.4 рекуррентными соотношениями (1.2.8). В примере 1.2.5 показано, что данный процесс порожден кусочно-линейными преобразованиями, и дан вид образующих. Поскольку характеристическое множество имеет тот же вид, что и в предыдущем примере, то с помощью функции (5) при выполнении условий равномерной независимости от начального состояния и ограниченности в среднем по времени доказывается устойчивость процесса z_t в среднем по времени.

Нетрудно понять, что условием равномерной независимости от начального состояния является следующее:

min Р{θ_t > η_t(j)} > 0,

или

min ∫B_j(х)Н(dx) > 0. (6)

С другой стороны, условие

Мθ_t > max Мη_t(j) (7)

гарантирует ограниченность в среднем по времени. Но из условия (7) следует выполнение неравенства (6). Поэтому, если выполнено (7), то у процессов z_t, z_t* существуют финальные распределения Q, Q* соответственно, и имеет место слабая устойчивость в пределе.

Пример 3. Многолинейно-многофазная система. Рассмотрим систему, схематически изображенную на рис. 8 и состоящую из N фаз обслуживания.

Рис 8.
Перед каждой фазой допускается неограниченная очередь. Длительности обслуживания различных требований независимы в совокупности и B_i(x) их (общая) функция распределения на приборах, входящих в i-ю фазу, 1 ≤ i ≤ N. Всего i-я фаза состоит из r_i параллельно работающих приборов. Обозначим М₀ = 0, M_i = ∑r_j, 1 ≤ i ≤ N, М = М_N. Состояние системы будем характеризовать M-мерным вектором z = (z(1), …, z(M)) и рассмотрим систему в последовательные моменты поступления требований. Таким образом, z_t — состояние процесса в момент поступления t-го требования. Определим компоненты вектора состояния. Для этого сначала будем считать, что t > М. В дальнейшем покажем, что это ограничение несущественно.

Пусть T^t — множество требований, имеющих номера {1, …, t—1}. Обозначим через Т₁^t⊂Т^t подмножество из r₁ требований (входящих в множество T^t), которые последними обслужились (или обслужатся) на первой фазе, т. е. исходное множество Т^t переупорядочивается в соответствии с моментами ухода требований с первой фазы, а множество Т₁^t составляют последние r₁ требований. Аналогично определим подмножество Т_i^t⊂Т^t из r, требований, которые последними обслужились на 1-й фазе, 2 ≤ i ≤ N. Внутри каждой из групп Т_i^t требования упорядочим в порядке их ухода с i-й фазы. Будем считать, что в каждый рассматриваемый момент t требования упорядочены в соответствии с описанным выше правилом. Положим координату z_t(s) при M_t-1 < s ≤ M_i равной разности между моментом ухода s-ro требования (принадлежащего множеству Т_i^t) с i-й фазы и моментом поступления в систему t-ro требования.

Пусть θ_t — интервал между моментами поступления t-го и (t + 1)-го требований, {η_t(i} — последовательность длительностей обслуживания требований на i-й фазе.

Соотношения имеют смысл не только при t > М, но и при всех t ≥ 0. Приведенная выше интерпретация координат сохраняется и в общем случае. Если при этом к моменту t = 0 в системе было меньше, чем М требований, то данную интерпретацию легко сохранить, предположив, например, что в начальный момент времени в системе было достаточное число фиктивных требований, время обслуживания которых на всех фазах равно нулю.

Комментарии запрещены.