Многие важные задачи анализа систем могут быть сформулированы в терминах момента первого достижения. Поэтому различные оценки распределения этого момента важны в первую очередь с практической точки зрения.

Сформулируем задачу, которая будет решаться в данной главе.

Пусть Q⊂Z — фиксированное подмножество пространства состояний процесса z_t. Будем рассматривать как процесс с дискретным временем, так и кусочно-линейный процесс. Обозначим через μ^Q момент первого выхода из множества Q:

μ^Q = inf{t : z_t не принадлежит Q}.

В дальнейшем всюду будем считать множество Q открытым. Тогда, поскольку траектории z_t непрерывны по t справа, то z_Q не принадлежит Q. Если процесс z_t имеет конечное время жизни (обрывающийся процесс), то, вообще говоря, возможна ситуация, что момент обрыва наступит раньше, чем процесс покинет множество Q. Поэтому будем предполагать регулярность рассматриваемых процессов. На самом же деле достаточно предположить, что рассматриваются процессы, у которых время жизни больше величины μ^Q. Это предположение выполнено, например, в случае, когда Q ограничено, т. е. найдется n > О, при котором Q из {||z|| < п), поскольку мы предполагаем, что все подпроцессы z_t,n, полученные из исходного процесса остановкой в множестве {||z|| ≤ n}, регулярны. Предположение о регулярности также излишне в случае дискретного времени, так как процесс с дискретным временем автоматически регулярен.

В этих предположениях величина μ^Q является марковским моментом для процесса z_t (марковский момент по определению должен не превышать времени жизни процесса). Однако в общем случае μ^Q может принимать с положительной вероятностью бесконечные значения. Это соответствует ситуации, когда процесс с положительной вероятностью не покидает множества Q за конечное время. Тривиальным примером такой ситуации является случай, когда Q — множество поглощающих состояний.

Нашей задачей в этой главе будет получение одно- и двусторонних оценок функции распределения P_z{μ^Q ≤ x}. При z не принадлежащем Q данная функция полагается равной 1 (что соответствует μ^Q = 0). Поэтому оценки будем искать при начальном состоянии z∈Q.

Комментарии запрещены.