Объектом изучения в данном посте и далее, если не оговорено противное, является процесс z_t, построенный на последовательности необрывающихся процессов z_{t, n}. Напомним, что одним из условий проведенных построений является необрываемость подпроцессов z_{t, n}. В свою очередь достаточным условием для этого является выполнение леммы 2 с заменой Т_δ на T_{δ, n}. Ниже без дополнительных оговорок будет считаться, что все подпроцессы z_{t, n} необрывающиеся. Во всех примерах данной и последующих постов условия леммы 2 выполнены. Это обстоятельство также не будет всякий раз оговариваться.

Определение 1. Назовем процесс z_t с начальным состоянием z регулярным, если

Р_z{θ < ∞} = 0. (1)

Докажем ряд результатов, дающих достаточные условия регулярности изучаемых процессов. Эти условия даются в терминах пробных функций.

Пусть θ^α — момент первого выхода процесса z_t из множества {||z|| < α), а А_n — оператор вида (3.3). Поскольку θ = lim θ^α, то рассматриваемый процесс z_t (с начальным состоянием z) регулярен, если при любом фиксированном t > 0 имеет место равенство

lim P_z{θ^α < t} = 0. (2)

Лемма 1. Пусть для каждого n, начиная с некоторого, существует неотрицательная функция V_n (z), z∈Z, такая, что выполнены следующие условия:

1) V_n∈D_A;
2) v_n‘ = inf V_n (z < ∞) 3) существуют неотрицательные функции Δ_1n(z), z∈Z, и Δ_2n(z), z∈Z*, такие, что
а) A_nV_n(z) ≤ Δ_1n(z), ||z|| ≤ n,
б) М⁽ⁿ⁾V_n(z) — V_n(z) ≤ Δ_2n(z), ||z|| ≤ n, z∈Z*;

4) функции V_n, Δ_1n, Δ_2n удовлетворяют при фиксированных z∈Z и t > 0 соотношениям:
а) lim 1/v_n V_n (z) = 0
б) lim 1/v_n ∫M_zΔ_1n(z_s)ds = 0
в) lim 1/v_n M_z∑Δ_2n(z_j*) = 0

Тогда процесс z_t регулярен при всех z₀ = z∈Z.

Доказательство. Рассмотрим процесс z_t,n и марковский момент τ = θⁿ∧t. Применим формулу (1.3.9) к этому моменту и функции V_n. Учитывая, что в этом случае M_zV_n (z_τ) ≥ v_n‘P_z{θⁿ≤t}, и пользуясь неотрицательностью Δ_1n и Δ_2n найдем

P_z{θⁿ≤t} → 0.

Лемма доказана.
Условия доказанной леммы требуют проверки выполнения ряда свойств для совокупности пробных функций V_n. Это неудобно. Поэтому возникает естественное желание получить критерий регулярности с помощью одной пробной функции. Следующая теорема дает такие условия.

Теорема 1. Пусть неотрицательная функция V(z), V∈D_A удовлетворяет условиям
1) sup V(z) < ∞ при любом n > 0;
2) v_n = inf V(z) → 0 при n → ∞;
3) существуют неотрицательные функции Δ_1n(z), z∈Z, и Δ_1n, z∈Z* такие, что
а) Δ₁^V(z) ≤ Δ₁(z), z∈Z,
б) Δ₂^V(z) ≤ Δ₂(z), z∈Z*,
4) функции Δ₁ и Δ₂ удовлетворяют при фиксированных z∈Z и t > 0 соотношениям

а) ∫M_zΔ₁ (z_s)ds < ∞, б) M_z∑Δ₂ (z_j*) < ∞ Тогда процесс z_t регулярен при всех z∈Z.

Доказательство. Рассмотрим семейство пробных функций V_n(z), определяемых равенством

V_n(z) = V(z) ∧ v_n.

Так как V∈D_A, то V∈D_A* и, следовательно, V∈D_An.

Из условий теоремы с очевидностью следует, что для такого семейства V_n выполнены все условия леммы 1, и, следовательно, процесс z_t регулярен. Замечание. Пусть:
1) функция Δ₁(z) ограничена сверху положительной постоянной,
2) функция Δ₂(z) при z∈Z* ограничена сверху положительной постоянной и при любом t > 0

M_zI(t) < ∞. Тогда, очевидно, при любом z∈Z выполнены условия 4) теоремы 1. Смысл условий, налагаемых на функции Δ_i^V (z) в данном замечании, весьма прост. Они ограничивают среднюю скорость роста функции V(z). Так, на отрезках времени, не содержащих моменты дискретного вмешательства случая, средняя скорость роста ограничена величиной sup Δ₁(z); среднее число скачков
вследствие дискретного вмешательства случая за любое конечное время, конечно, и средняя величина приращения функции V при этих скачках ограничена сверху величиной sup Δ₂(z).

Легко понять, что приведенные критерии не являются единственно возможными. Метод пробных функций позволяет получать наиболее удобные условия выполнения тех или иных свойств, изменяя вид ограничений, налагаемых на пробные функции.

Ранее мы встретимся с необходимостью исследовать регулярные процессы с целью нахождения условий ограниченности. Поэтому целесообразно дать такие условия регулярности, которые бы автоматически выполнялись при выполнении условий ограниченности. В связи с этим докажем еще одну теорему, дающую достаточные условия регулярности.

Перед доказательством целесообразно ввести конструкцию, которая будет использоваться и в дальнейшем.

Пусть 0 < а <. Ь. Рассмотрим следующие моменты времени, определяемые рекуррентно. τ₀⁽¹⁾ — момент первого попадания траектории процесса в множество {||z|| < а}; τ₁⁽ⁱ⁾ — момент первого (после τ₀⁽¹⁾) выхода траектории процесса из множества {||z|| < b}, i ≥ 1; τ₀⁽¹⁾ — момент первого (после τ₁^(i-1)) попадания траектории процесса в множество {||z|| < a}, i ≥ 2. Назовем полуинтервалы вида [τ₁⁽ⁱ⁾, τ₁⁽ⁱ⁺¹⁾) (b, а)-циклами процесса z_t.

Теорема 2. Пусть при каждом достаточно большом n > 0 существует неотрицательная функция V_n(z), z∈Z, такая, что выполнены следующие условия:
1) V_n∈D_A;
2) для любых а > 0
V_a = sup sup V_n (z) < ∞; 3) v_n‘ = inf V_n(z) → ∞;

4) существуют числа a, b (b>a), не зависящие от n,
такие, что
a) A_nV_n(z) ≤ 0, a ≤ ||z|| ≤ n, z∈Z,
б) M⁽²⁾V_n(z) — V_n(z) ≤ 0, a ≤ ||z|| ≤ n, z∈Z*,
в) для некоторых 0 < ε < 1 и θ*>0

sup Р_z(θ^b ≤ θ*}<ε, г) sup P_z {||z_θb|| ≥ m} ≤ p_m, m > b, где p_m→0 при m → ∞.

Тогда процесс z_t регулярен при всех z∈Z.

Доказательство. Для доказательства теоремы достаточно показать, что при любом фиксированном t > 0 и z∈Z имеет место равенство (2).

Пусть n > 0 некоторое число. Без ограничения общности будем считать, что п>ви начальное состояние z₀ = z удовлетворяет неравенству ||z|| < n. Оценим вероятность p_n(z) того, что траектория процесса, начинающаяся в точке z, выйдет иа множества {||z|| < n} раньше, чем попадет в {||z|| < а}. Для этого рассмотрим новый процесс z_t* получающийся из исходного остановкой в множестве {||z|| < а). Все величины, относящиеся к этому процессу, будем обозначать волной сверху. Очевидно p_n(z) = P_z {θⁿ* < ∞}. Оценим Р_z{θⁿ* ≤ x}, х > 0. Рассмотрим для этого марковский момент τ = θⁿ*∧х с конечным математическим ожиданием.

Поскольку в силу условия 1) теоремы v’_n → ∞, а в силу условия 2) числитель дроби (6) при фиксированном z ограничен, рассматриваемый процесс с вероятностью 1 перед моментом ухода в бесконечность по крайней мере один раз попадет в множество {||z|| < а}. Перейдем теперь к оценке вероятности P_z{θⁿ ≤ a} при фиксированном х > 0. Для этого рассмотрим (b, а)-циклы процесса z_t.

В силу условия 2), начиная с некоторого n, первое слагаемое в (17) не превышает γ/3, и первое слагаемое в правой части (10) также не превышает γ/3. Таким образом, из (10) и (17) следует, что, начиная с некоторого n,

P_z{θⁿ ≤ х) ≤ γ.

Следовательно,

lim P_z{θⁿ ≤ x} ≤ γ. (18)

Поскольку величина у произвольна, неравенство (18) доказывает теорему.

Для применения данной теоремы необходимо не только уметь строить пробные функции V_n удовлетворяющие условиям 1)—3) и 4а), б), но и проверять для рассматриваемого процесса выполнение условий 4в), г). Если условие 4в) достаточно наглядно и легко проверяется в конкретных примерах, то относительно условия 4г) необходимо сделать некоторые замечания. Именно, дадим критерий выполнимости этого условия через исходные характеристики процесса.

Момент θ^b может принадлежать одному из трех типов: 1° — быть точкой непрерывности траектории процесса,
2° — быть точкой непрерывного вмешательства случая,
3° — быть точкой дискретного вмешательства случая.

Следствие 1. Утверждение теоремы 2 остается в силе, если условие 4г) заменить условиями (19).

Замечание. Если множество {||z|| < a} конечно, то условия 4в), г) выполнены автоматически и, следовательно, в проверке не нуждаются. Для того чтобы применять теорему 2 с целью нахождения условий регулярности, нужно уметь строить семейство пробных функций V_n, удовлетворяющих условиям 1)—4). Представляется желательным сформулировать достаточные условия через одну пробную функцию.

Теорема 3. Если неотрицательная функция V∈D_A удовлетворяет условиям
1) v_n = inf V (z) → ∞;
2) V_n* = sup V (z) < ∞, n > 0;
3) существует число а такое, что
Δ₁^V(z) ≤ 0, ||z|| ≥ а, z∈Z,
Δ₂^V(z) ≤ 0, ||z|| ≥ а, z∈Z*,.
то существует последовательность функций V_n, удовлетворяющая условиям 1)—3) и 4а), б) теоремы 2.

Доказанные утверждения являются фактически критериями проверки регулярности. В следующем посте и в последующих постах даны примеры применения полученных результатов к анализу ряда процессов.

Комментарии запрещены.