Условия леммы 1 достаточны для того, чтобы рассматриваемые процессы были необрывающимися. Однако существуют практически интересные задачи, требующие изучения процессов, у которых функции λ(z) и v^v неограничены. Поэтому принципильно важно получить более широкие условия регулярности рассматриваемых процессов. Вместе с тем необходимо напомнить, что построения были проведены в предположении равномерной ограниченности λ(z) и v^v (условие (1.3.2)). Поэтому, прежде чем переходить к получению соответствующих результатов, необходимо расширить класс изучаемых процессов.

Ослабим условие (1.3.2). Именно, потребуем, чтобы функции λ(z) и v^v удовлетворяли при любом n соотношениям

sup λ (z) = Λ_n < ∞, sup |v^v(j)| = v_n < ∞ (1)

Кроме того, чтобы функция λ(z) была кусочно-непрерывна в каждом множестве {||z|| < n}. Обозначим через z_{t, n} процесс с множеством состояний Z, для которого множество {||z|| ≥ n} является поглощающим и который при ||z|| < n ведет себя как кусочно-линейный (типа, описанного в ранее), определяемый функциями λ(z) и v^v.

Будем предполагать, что каждый процесс z_t,n регулярен. Например, пусть он удовлетворяет условиям леммы 1, где множество T_δ в следует заменить на Т_δ,n = T_δ∪{||z|| ≥ n} (в силу того, что {||z|| ≥ n} — множество поглощающих состояний). Тогда время жизни каждого из процессов z_t,n бесконечно.

Зафиксируем целые числа шип. Обозначим через θ_n^m момент первого выхода процесса z_t,n из множества {||z|| < m). Из построения процессов z_t,n следует, что θ_n^m = θ_k^m при любых n, k ≥ m, поскольку при этом условии процессы z_t,n и z_t,k в множестве {||z|| < m} ведут себя одинаково. Поэтому естественно обозначить этот общий момент через θ^m. Таким образом, θ^m — момент первого выхода из множества {||z|| < m) траекторий процессов z_t,n, n ≥ m. Последовательность {θ^m}, очевидно, является неубывающей. Пусть θ = lim θ^m. Назовем момент θ моментом ухода в бесконечность. Легко видеть, что значение 0 не зависит от выбора исходной последовательности множеств {||z|| < n}, вместо нее можно выбрать любую другую бесконечно расширяющуюся последовательность множеств, обладающую тем свойством, что расстояние от любой фиксированной точки z₀ до границы множеств также бесконечно возрастает.

Поскольку при любых n, k ≥ m имеет место равенство
z_t,n = z_t,k, t < θ^m,

то можно рассмотреть новый процесс z_t совпадающий до момента выхода из каждого множества {||z|| < n} с z_t,n и определяемый равенством

z_t = z_t,n при t < θⁿ. (2)

Построенный процесс z_t определен конструкцией (2) лишь до момента θ. Так как, по предположению, все процессы z_t,n необрывающиеся, то будем говорить, что z_t построен на последовательности необрывающихся процессов и задается функциями λ(z) и v^v. Эти функции удовлетворяют соотношениям (1). Обозначим через A_n оператор вида

A_nV(z) = [ λ(z)[M⁽¹⁾V(z) — V(z)] + V*(z), ||z||

Этот оператор является слабым инфинитезимальным оператором подпроцессов, из которых «сшит» процесс z_t,n.

Из (2) и (3) следует, что можно определить оператор

A_nV(z) = [λ(z)[M⁽¹⁾V(z) — V(z)] + V*(z), z∈Z (4)

действие которого в каждом множестве {||z|| < n) совпадает с действием оператора А_n для процесса z_t,n. Область определения оператора А обозначим D_A*, D_A* = ∩D_An. Будем доопределять функции из D_A* на множестве Z* по непрерывности. Напомним, что в множество D_A* входят лишь ограниченные функции. В дальнейшем оператор А часто будет применяться к неограниченным функциям. Поэтому необходимо определить класс тех функций, с которыми мы будем работать.

Рассмотрим некоторую функцию V(z), z∈Z*. Обозначим при М > 0

V^M (z) = М, V(z) ≥ M,
V^M (z) = V(z), |V(z)| < M, V^M (z) = — M, V(z) ≤ — M.

Предположим, что V^M∈D_A* при любом М. Пусть А — оператор вида (4). Обозначим

AV^M(z) = Δ^V_1M(z), z∈Z,

М⁽²⁾V^M (z) — V^M (z) = Δ^V_2M(z), z∈Z*.

Предположим, что существуют конечные пределы

Δ^V₁(z) = lim Δ^V_1M(z), z∈Z, (6)

Δ^V₂(z) = lim Δ^V_2M(z), z∈Z*. (7)

Обозначим через D_A** класс функций V, для которых существуют функции Δ^V_i(z), i = 1, 2.

Таким образом, класс D_A** можно рассматривать как расширение класса D_A*.

Смысл введенных в данном посте построений заключается в следующем. Для получения необходимых результатов в дальнейшем придется неоднократно пользоваться формулой (1.3.9). Эта формула была получена в предположениях (1.3.2) равномерной ограниченности функций λ(z), v^v, а также ограниченности функций V. Оба эти предположения являются стеснительными. Однако указанная формула (1.3.9) остается справедливой и при невыполнении предположений (1.3.2) (но при выполнении неравенств (1)), если воспользоваться представлением Процесса z, в виде продолжения подпроцессов z_t,n. Таким образом, исходный процесс z_t рассматривается как совокупность подпроцессов z_t,n для каждого из которых формула (1.3.9) имеет смысл, если V∈D_A* — Если же функция V не ограничена, но принадлежит классу D_A**, то «усекая» ее сверху и снизу числами М и -М соответственно, применяя формулу (1.3.9) к усеченной функции (что допустимо по построению D_A**) и переходя к пределу при М → ∞, можно получить искомые результаты. Приводимые построения, несмотря на их кажущуюся излишнюю формальность, необходимы по существу. Более того, несоблюдение этих «формальностей» может привести к ошибке.

Комментарии запрещены.