Примеры устойчивости по первому приближению

Пример 1. Найти положения равновесия нелинейной системы и исследовать их устойчивость с помощью теорем Ляпунова об устойчивости по первому приближению
x = a x — c x y, c≠0
y = — by + d x y, d≠0.
Показать, что в зависимости от знаков параметров a, b выводы об устойчивости различные.

Решение: Данная система имеет два положения равновесия (особые точки)
x1 = 0, y1 = 0,
x2 = b/d, y2 = a/c.

Введем отклонения от положений равновесия
z1 = x — xk, z2 = y — yk, (k=1,2).

Тогда уравнения первого приближения около положений равновесия примут вид:
z1 = (a — cyk) z1 — cxk z2,
z2 = dyk z1 + (- b + dxk) z2.

Для первого положения равновесия уравнения первого приближения таковы
z1 = a z1,
z2 = — bz2
;
Соответствующее характеристическое уравнение имеет вид (λ — a)(λ + b) = 0.
Для второго положений равновесия уравнения первого приближения следующие
u1 = — (cb/d) u2,
u2 = (ad/c) u1,
а характеристическое уравнение имеет вид λ2 + ab = 0.

Путем анализа корней характеристических уравнений можно сделать следующие выводы:

1. При a>0, b>0 нулевое положение равновесия x1 = 0, y1 = 0 исходной нелинейной системы неустойчиво («грубая» особая точка – седло, см. замечание ниже), поскольку существует корень характеристического уравнения, лежащий в правой полуплоскости λ1=-a>0. Для второго положения равновесия x2, y2 характеристическое уравнение имеет два чисто мнимых корня (Re λ1,2 = 0). В этом случае имеем критический случай исследования устойчивости по Ляпунову, т.е. об устойчивости второго положения равновесия x2, y2 ничего сказать нельзя –
нужно исследовать полные нелинейные уравнения. Численный анализ исходной нелинейной системы показывает, что при любых начальных условиях x0>0, y0>0 движение
изображающей точки происходит по замкнутым фазовым траекториям вокруг второй особой точки x2, y2 (рис.2.1). Следовательно, второе положение равновесия x2, y2 исходной нелинейной системы устойчиво (не асимптотически).



Рис.2.1 Фазовые траектории в случае a>0, b>0

2. При a<0, b>0 нулевое положение равновесия x1 = 0, y1 = 0 — асимптотически устойчиво («грубая» особая точка – устойчивый узел), поскольку оба корня характеристического уравнения лежат в левой полуплоскости (Re λ1,2<0). Второе решение x2, y2 – неустойчиво («грубая» особая точка – седло), поскольку существует корень характеристического уравнения, лежащий в правой полуплоскости.

Замечание: Особая точка называется «грубой», если при добавлении в систему малых нелинейных слагаемых, тип особой точки не меняется.

Пример 2. Исследовать устойчивость по первому приближению нулевого решения системы
x = ω y + a x (x2 + y2)0.5 ,
y = — ω x + a y (x2 + y2)0.5,

Решение: Введем отклонения z1 = x — x1, z2 = y — y1 от нулевого положения равновесия x1=0, y1=0. Уравнения первого приближения около данного положения равновесия таковы:
z1 = ω z2,
z2 = — ω z1.

Характеристическое уравнение λ2 + ω2 = 0 имеет два чисто мнимых корня λ = ± iω.

Следовательно, имеем критический случай исследования устойчивости по Ляпунову.

Нулевое решение x1= y1= 0 линейной системы (при a = 0) просто устойчиво, но об
устойчивости нулевого решения x1 = y1 = 0 исходной нелинейной системы (при a ≠ 0) ничего сказать нельзя – нужно исследовать полные нелинейные уравнения.

Умножим первое уравнение на x, второе – на y и сложим уравнения. Получим x x + y y= a (x2 + y2) (x2 + y2)0.5.

Если сделать замену x2 + y2 = r2, то данное уравнение можно переписать в виде
r = a r2.
Последнее уравнение легко интегрируется
r = r0/[1 — a r0 (t — t0)].

Из анализа данного решения нелинейной системы нетрудно сделать выводы о том, что нулевое положение равновесия x1 = y1 = 0 нелинейной системы при a<0 асимптотически устойчиво (величина r стремится к нулю «по гиперболе»), а при a >0 — неустойчиво (величина r за конечное время уходит из малой окрестности нуля, а именно, при t → t1=[ t0 + 1/(ar0)] стремится к бесконечности r → ∞.


Оставить комментарий





Статистика

Рейтинг@Mail.ru