Пример 1. Исследовать устойчивость установившегося движения равномерно вращающегося ротора на линейно упругом валу в случае идеального двигателя (неограниченной мощности), который обеспечивает в любой момент времени постоянную
угловую скорость вращения ротора ω = const.

Решение: Уравнения первого приближения около установившегося движения имеют вид

x₁^•• — 2ωx₂^• + (ω₀² — ω²) x₁ = 0,
x₂^•• + 2ωx₁^• + (ω₀² — ω²) x₂ = 0. (2.9)

Характеристический определитель системы (2.9)
λ⁴ + 2(ω₀² + ω²)λ²+ (ω₀² — ω²)² = 0, имеет чисто мнимые корни относительно λ, поскольку λ² = — (√ω₀ ± √ω)².

Поэтому критерий Рауса-Гурвица I не выполняется, поскольку a₁ = a₃ = 0 и все определители Гурвица обращаются в нуль.

Для исследования устойчивости установившегося движения ротора в данном случае воспользуемся теоремами Кельвина-Четаева. Для этого проанализируем
структуру сил, действующих в системе (2.9). Запишем систему (2.9) в матричном виде

x^•• + Gx^• + C x = 0. (2.10)

В данном случае на систему (2.10) действуют гироскопические и потенциальные силы.

При отсутствии гироскопических сил (G=0) нулевое решение системы (2.10) устойчиво, если ω < ω₀, т.к. потенциальная энергия имеет при этом условии изолированный
минимум. Согласно теореме Кельвина-Четаева эта устойчивость сохраняется при добавлении гироскопических сил. При ω > ω₀ потенциальная энергия имеет максимум, но степень неустойчивости четная, т.к. detC=(ω₀
² — ω²)²>0. Поэтому при ω > ω₀ возможна гироскопическая стабилизация установившегося движения за счет вращения ротора.

Пример 2. Исследовать влияние вязкого внутреннего трения (a>0) на устойчивость установившегося движения равномерно вращающегося ротора из примера 1.

Решение: Уравнения первого приближения около установившегося движения имеют вид

x₁^•• + ax₁^• — 2ωx₂^• + (ω₀² — ω²) x₁ = 0,
x₂^•• + ax₂^• + 2ωx₁^• + (ω₀² — ω²) x₂ = 0. (2.11)

Уравнения (2.11) «симметричны» относительно переменных x₁, x₂ и параметров системы. Введем комплекснозначную переменную z = x₁ + ix₂.

Тогда уравнения (2.11) примут вид

z^•• + az^•+ 2iωz^• + (ω₀² — ω²) z = 0. (2.12)

Характеристическое уравнение для дифференциального уравнения (2.12) таково

Δ*(λ) = λ² + (a + 2iω)λ+ (ω₀² — ω²) = 0. (2.13)

Коэффициенты a₁*= (a + 2iω), a₂*= (ω₀² — ω²) уравнения (2.13) комплексные величины.

Преобразуем характеристическое уравнение (2.13), сделав в нем замену λ=iμ. В результате получим полином следующего вида

(- μ²) + (- 2ω + ia) μ + (ω₀² — ω²) = 0 (2.14)

Определители матрицы Гурвица для полинома (2.14) имеют вид

Применив критерий Рауса-Гурвица II для полиномов с комплексными коэффициентами, получим условие асимптотической устойчивости исследуемого установившегося движения ротора в виде ω<ω₀.

Замечание: Поскольку вязкое внутреннее трение вводит в систему (2.11) диссипативные силы с полной диссипацией, то при ω > ω₀ гироскопическая стабилизация разрушается и установившее движение ротора становится неустойчивым.

Комментарии запрещены.