Примеры критериев Рауса-Гурвица и Льенара-Шипара

Пример 1. Исследовать устойчивость установившегося движения равномерно вращающегося ротора на линейно упругом валу в случае идеального двигателя (неограниченной мощности), который обеспечивает в любой момент времени постоянную
угловую скорость вращения ротора ω = const.

Решение: Уравнения первого приближения около установившегося движения имеют вид

x1•• — 2ωx2 + (ω02 — ω2) x1 = 0,
x2•• + 2ωx1 + (ω02 — ω2) x2 = 0. (2.9)

Характеристический определитель системы (2.9)
λ4 + 2(ω02 + ω22+ (ω02 — ω2)2 = 0, имеет чисто мнимые корни относительно λ, поскольку λ2 = — (√ω0 ± √ω)2.

Поэтому критерий Рауса-Гурвица I не выполняется, поскольку a1 = a3 = 0 и все определители Гурвица обращаются в нуль.

Для исследования устойчивости установившегося движения ротора в данном случае воспользуемся теоремами Кельвина-Четаева. Для этого проанализируем
структуру сил, действующих в системе (2.9). Запишем систему (2.9) в матричном виде

x•• + Gx + C x = 0. (2.10)

В данном случае на систему (2.10) действуют гироскопические и потенциальные силы.

При отсутствии гироскопических сил (G=0) нулевое решение системы (2.10) устойчиво, если ω < ω0, т.к. потенциальная энергия имеет при этом условии изолированный
минимум. Согласно теореме Кельвина-Четаева эта устойчивость сохраняется при добавлении гироскопических сил. При ω > ω0 потенциальная энергия имеет максимум, но степень неустойчивости четная, т.к. detC=(ω0
2
— ω2)2>0. Поэтому при ω > ω0 возможна гироскопическая стабилизация установившегося движения за счет вращения ротора.

Пример 2. Исследовать влияние вязкого внутреннего трения (a>0) на устойчивость установившегося движения равномерно вращающегося ротора из примера 1.

Решение: Уравнения первого приближения около установившегося движения имеют вид

x1•• + ax1 — 2ωx2 + (ω02 — ω2) x1 = 0,
x2•• + ax2 + 2ωx1 + (ω02 — ω2) x2 = 0. (2.11)

Уравнения (2.11) «симметричны» относительно переменных x1, x2 и параметров системы. Введем комплекснозначную переменную z = x1 + ix2.

Тогда уравнения (2.11) примут вид

z•• + az+ 2iωz + (ω02 — ω2) z = 0. (2.12)

Характеристическое уравнение для дифференциального уравнения (2.12) таково

Δ*(λ) = λ2 + (a + 2iω)λ+ (ω02 — ω2) = 0. (2.13)

Коэффициенты a1*= (a + 2iω), a2*= (ω02 — ω2) уравнения (2.13) комплексные величины.

Преобразуем характеристическое уравнение (2.13), сделав в нем замену λ=iμ. В результате получим полином следующего вида

(- μ2) + (- 2ω + ia) μ + (ω02 — ω2) = 0 (2.14)

Определители матрицы Гурвица для полинома (2.14) имеют вид



Применив критерий Рауса-Гурвица II для полиномов с комплексными коэффициентами, получим условие асимптотической устойчивости исследуемого установившегося движения ротора в виде ω<ω0.

Замечание: Поскольку вязкое внутреннее трение вводит в систему (2.11) диссипативные силы с полной диссипацией, то при ω > ω0 гироскопическая стабилизация разрушается и установившее движение ротора становится неустойчивым.


Комментарии запрещены.





Статистика

Рейтинг@Mail.ru