Образовательный блог – всё для учебы

Пример 1. Исследовать устойчивость установившегося движения равномерно вращающегося ротора на линейно упругом валу в случае идеального двигателя (неограниченной мощности), который обеспечивает в любой момент времени постоянную
угловую скорость вращения ротора ? = const.

Решение: Уравнения первого приближения около установившегося движения имеют вид
x₁^•• ? 2? x₂^• + (?₀² ? ?²) x₁ = 0,
x₂^•• + 2? x₁^• + (?₀² ? ?²) x₂ = 0. (2.9)

Характеристический определитель системы (2.9)
?⁴ + 2(?₀² + ?²)?²+ (?₀² ? ?²)² = 0, имеет чисто мнимые корни относительно ?, поскольку ?² = ? ( ?₀ ? ? )².

Поэтому критерий Рауса-Гурвица I не выполняется, поскольку a₁ = a₃ = 0 и все определители Гурвица
обращаются в нуль.

Для исследования устойчивости установившегося движения ротора в данном случае воспользуемся теоремами Кельвина-Четаева. Для этого проанализируем
структуру сил, действующих в системе (2.9). Запишем систему (2.9) в матричном виде
x^•• + Gx^• + C x = 0. (2.10)

В данном случае на систему (2.10) действуют гироскопические и потенциальные силы.

При отсутствии гироскопических сил (G=0) нулевое решение системы (2.10) устойчиво, если ? < ?₀, т.к. потенциальная энергия имеет при этом условии изолированный
минимум. Согласно теореме Кельвина-Четаева эта устойчивость сохраняется при добавлении гироскопических сил. При ? > ?₀ потенциальная энергия имеет максимум, но
степень неустойчивости четная, т.к. detC=(?₀
²??²)²>0. Поэтому при ? > ?₀ возможна гироскопическая стабилизация установившегося движения за счет вращения ротора.

Пример 2. Исследовать влияние вязкого внутреннего трения (a>0) на устойчивость установившегося движения равномерно вращающегося ротора из примера 1.

Решение: Уравнения первого приближения около установившегося движения имеют вид
x₁^•• + ax₁^•? 2? x₂^• + (?₀² ? ?²) x₁ = 0,
x₂^•• + ax₂^• + 2? x₁^• + (?₀² ? ?²) x₂ = 0. (2.11)

Уравнения (2.11) «симметричны» относительно переменных x2, x2 и параметров системы. Введем комплекснозначную переменную z = x₁ + ix₂. Тогда уравнения (2.11) примут
вид
z^•• + az^•+ 2i?z^• + (?₀² ? ?²) z = 0. (2.12)

Характеристическое уравнение для дифференциального уравнения (2.12) таково
?*(?) = ?² + (a + 2i?)?+ (?₀² ? ?²) = 0. (2.13)

Коэффициенты a₁*= (a + 2i?), a₂*= (?₀² ? ?²) уравнения (2.13) комплексные величины.

Преобразуем характеристическое уравнение (2.13), сделав в нем замену ?=i?. В результате получим полином следующего вида
(? ?²) + (? 2? + ia) ? + (?₀² ? ?²) = 0 (2.14)

Определители матрицы Гурвица для полинома (2.14) имеют вид.

Применив критерий Рауса-Гурвица II для полиномов с комплексными коэффициентами, получим условие асимптотической устойчивости исследуемого установившегося
движения ротора в виде ?0.

Замечание: Поскольку вязкое внутреннее трение вводит в систему (2.11) диссипативные силы с полной диссипацией, то при ? > ?₀ гироскопическая стабилизация разрушается и установившее движение ротора становится неустойчивым.

1. Критерии Рауса-Гурвица и Льенара-Шипара
2. Примеры устойчивости по первому приближению
3. Постановка задачи об устойчивости движения. Определение устойчивости по Ляпунову
4. Уравнения возмущенного движения
5. Примеры устойчивости предельных режимов
6. Упорядочение векторных критериев оптимальности при помощи обобщенной функции цели
7. Асимптотической устойчивости по Ляпунову. Неустойчивости по Ляпунову
8. Теоремы об устойчивости по первому приближению
9. Уравнения первого приближению
10. Метод Четаева построения функции Ляпунова (второй метод Ляпунова)
11. Примеры решения задач по экономике 2
12. Определение весовых коэффициентов относительной важности частных критериев оптимальности по матрице экспертных оценок
13. Примеры решения задач по экономике
14. Особенности определения устойчивости по Ляпунову
15. Теорема об устойчивости. Теорема об неустойчивости
16. Семинар 2. Задача 3 и 4. Примеры задач по экономике
17. Геометрическая интерпретация уравнений возмущенного движения