Для неравноценных частных критериев Q_i, i = 1, …, s, значения весовых коэффициентов λ_i, i = 1, …, s, выбираются в соответствии с важностью критерия (более предпочтительному критерию соответствует большее значение весового коэффициента) таким образом, чтобы выполнялось условие

λ_i ≥ 0, i = 1, 2, .., s; ∑λ_i = 1. (2.81)

Предположим, что после проведения групповой экспертизы, в которой каждый из N экспертов назначает свои значения весовых коэффициентов, удовлетворяющие условию (2.81) (индивидуальная экспертиза может быть реализована, например, с помощью метода логического упорядочения f31), получена матрица экспертных оценок:

(2.82)

где λ_ik— экспертная оценка значения относительной важности i-го частного критерия оптимальности, предложенная k-ым экспертом. Для назначения оптимально-компромиссных весовых коэффициентов λ*, выражающих «коллективное мнение», необходимо задать схему компромисса F (Λ, λ) и решить экстремальную задачу

F(Λ, λ*) = min F(Λ, λ), (2.83)

где

D_λ = {λ|λ_j ≥ 0, j = 1, 2, …, s; ∑λ_j = 1}

Здесь схема компромисса F (Λ, λ) является некоторой мерой близости между произвольным вектором λ∈D_λ и элементами матрицы (2.82). Если мерой близости F (Λ, λ) является функция

F(Λ, λ) = ∑ ∑ (λ_ij — λ_j)², (2.84)

то оптимальным решением задачи (2.83) является вектор средних значений по элементам строк матрицы (2.82):

λ_i* = 1/N ∑λ_ij, i = 1, 2, …, s. (2.85)

Построим функцию Лагранжа

Ф(λ, α)= ∑∑ (λ_ij — λ_i)² + α(∑λ_i — 1).

Значения λ и α должны удовлетворять системе уравнений

∂Ф/∂λ = -∑ (λ_ij — λ_i) + α = 0, i = 1, 2, …, s; (2.86)

∂Ф/∂α = ∑λ_i — 1 = 0. (2.87)

Из выражения (2.86) находим, что

λ_i = 1/N∑λ_ij — α/2N, i = 1, …, s. (2.88)

Подставляя полученные значения из (2.88) в выражение (2.87), получаем, что α = 0. Откуда, согласно выражению (2.88), следует справедливость формулы (2.85). Что и требовалось доказать. На практике эксперты отличаются друг от друга квалификацией, опытом и т. п. Для учета этих факторов введем коэффициенты компетентности:

q_k > 0, k = 1, 2, …, N; ∑q_k=1. (2.89)

Тогда для случая неравнозначности мнений экспертов формула (2.85) может быть обобщена следующим образом:

λ_i = ∑λ_ikq_k, i = 1, 2, …, s,

или в векторной форме

λ = Λq. (2.90)

Выражение (2.90) означает, что «коллективное мнение» получается путем взвешенного суммирования индивидуальных экспертных оценок с учетом компетентности каждого эксперта.

Рассмотрим случай, когда коэффициенты компетентности q получаются путем обработки информации о том, насколько экспертные оценки λ_ik, i = 1, …, s, указанные k-ым экспертом, согласуются с оценка¬ми других экспертов (λ_ij, i = 1, 2, …, s; j = 1, 2, …, N, j ≠ k).

На первом шаге (r = 1) будем считать, что все эксперты равноправны (q_k‘ = 1/N, k = 1, 2, …, N) и «коллективное мнение» определяется по формуле (2.85). На каждом последующем шаге (r = 2, 3, 4, …) весовые коэффициенты λ^r будем оценивать с помощью итерационной процедуры:

λ’ = Λq^r-1, (2.91)

а пересчет коэффициентов компетентности q^r будем проводить с учетом вновь полученных значений λ’ по формуле

q^r = 1/β_r Λ^Tλ^r, (2.92)

где β_r = ∑∑ λ_ijλ_i^r — сумма компонент вектора Λ^Tλ^r. В связи с тем, что

Λ^Tλ^r = (λ^r)^TΛ

подставляя в (2.91) вместо q^r выражение (2.92), а в (2.92) вместо λ^r выражение (2.91), можем записать:

λ’ = — 1/β_r ΛΛ^Tλ^r-1, (2.93)

q^r = — 1/β_r Λ^TΛ^r-1. (2.94)

Таким образом, обработка результатов групповой экспертизы (2.82) сводится к вычислениям по формулам (2.93)—(2.94). При этом условием сходимости этого итерационного процесса согласно теореме Перрона—Фробениуса является неразложимость матриц ΛΛ^T и Λ^TΛ, что всегда имеет место, если λ_ij > 0 для всех i = 1, …, s и j = 1, 2, …, N, i≠j.

Элементы b_ij = ∑λ_kiλ_kj матрицы Λ^TΛ отражают степень близости оценок, которые указали i-ый и j-ый эксперты, и называются показателями взаимосвязи мнений экспертов. Значение элемента b_ij тем больше, чем чаще встречаются частные критерии Q_k, для которых оба эксперта указали одинаково высокие оценки λ_ki и λ_kj. Если значения λ_ki и λ_kj сильно отличаются между собой, то значения элементов b_ij малы. Тогда ясно, что большее значение коэффициента компетентности q_i^r получит тот эксперт, у которого оценки λ_ki наиболее совпадают с оценками остальных экспертов λ_kj, j = 1, 2, …, N, j ≠ i.

В том случае, когда в качестве меры близости F (Λ, λ) выбирается функция

F (Λ, λ) = max max |λ_ij — λ_i| (2.95)

экстремальная задача (2..83) является реализацией принципа гарантированного результата: «коллективное мнение» λ* об относительной важности компонент векторного критерия Q = (Q₁, Q₂, …, Q_s) должно как можно меньше отличаться от значений оценок λ_i, j = 1, 2, …, N.

Комментарии запрещены.