Численное решение алгебраических уравнений

Численные методы решения алгебраических уравнений имеют самостоятельное значение для исследования статических моделей. Уравнение вида х = f(х) называют заданным в неявной форме, если неизвестная переменная х входит в обе части уравнения, а f — функция, не содержащая интегрирования, дифференцирования или запаздывания х.

Если решение уравнения х =f(x) существует и находится в области вещественных чисел, то оно может быть найдено по простой итерационной формуле



Эта формула приводит либо к сходящемуся итерационному процессу и тогда |xn+1 – xn| : xn при возрастании n будет сколь угодно малым, либо к расходящемуся итерационному процессу. Используя алгебраические преобразования, алгебраические уравнения, записанные в произвольной форме, можно представить в канонической форме:



При имитационном моделировании и проектировании часто приходится решать системы линейных и нелинейных алгебраических уравнений.

Система линейных алгебраических уравнений имеет вид:




где аij и bi являются константами.

Это же уравнение в матричной форме имеет



где А — матрица коэффициентов aij размерности (nхn); b — вектор столбец коэффициентов b1,b2,…,bn размерности (n x 1); х — вектор неизвестных переменных размерности (n x 1).

Матрицы бывают квадратными (размерность nxn); диагональными, в том числе единичными, симметричными (А = АТ, aij = aji); треугольными, невырожденными и вырожденными.

Распространенным методом решения системы линейных алгебраических уравнений является метод Гаусса.

Решение системы нелинейных алгебраических уравнений представляет собой более сложную задачу.

В общем случае система нелинейных алгебраических уравнений имеет вид




Найти точное решение системы, т.е. вектор x = (x1,x2,…,xn)T
практически невозможно. Приближенное решение получают посредством итераций различными модификациями метода Ньютона с использованием матрицы Якоби:


Разработаны программные средства, реализующие методы решения алгебраических уравнений. Самым популярным пакетом из известных математических программ является MathCad фирмы Math Soft Inc. В этом пакете программ реализованы методы решения систем алгебраических и дифференциальных уравнений.


Комментарии запрещены.





Статистика

Рейтинг@Mail.ru