Пусть F(t₁, t₂,…, t_n+1):Rⁿ⁺¹→R – есть некоторая (n+1) – местная функция.

Определение: Соотношение (уравнение) R x(k+1) = F(k,x(k),x(k+1),..,x(k+n-1)) с неизвестной функцией натурального аргумента x(k): N→R, k∈N = {0,1,2,…} называется рекуррентным (рекурсивным). Число n – порядок уравнения (R).

Опр. Функция x(k) – есть частное решение уравнения (R) если x(k) – удовлетворяет условию (R) для любого натурального k.

Замечание: Рекуррентное уравнение (R) имеет много решений. Достаточно задать произвольное начальное значение x(0), x(1),…x(n-1), а затем по формуле (R) считать значения x(n), x(n+1), …, x(n+k)….

Замечание: 2: любая функция натурального аргумента x(k) задает числовую последовательность X: x₀, x₁, x₂,…,x_k для которой x_k= x(k), k=0,1,2,…. Или записать как x(0), x(1)…..

Определение: Числовая последовательность X: x₀, x₁, x₂,…, x_k – есть частное решение рекурсивного уравнения (R) если X_k+n = F(k, x_k, x_k+1, x_k+2,…,x_k+n-1), k=0,1,2,….

Определение: Числовая последовательность X (ф. X(k)) называется рекуррентной, если существует рекуррентное уравнение решением которого последовательность Х является.

Определение: Общее решение рекурсивного уравнения (R) есть функция G(C₁, C₂,…,C_n, k), для которой:
1) для ∀ C₁, C₂,…,C_n, ∈IR функция y(k) = G(C₁, C₂,…,C_n,k)- есть некоторое частное решение уравнения R.
2) Для ∀ частного решения y(k) уравнения R существуют числа C₁, C₂,…,C_n,∈IR, для которых функция y(k) = G(C1, C2,…,Cn,k).

Замечание: 1: есть аналогия между определением решений рекуррентного уравнения порядка n и обыкновенного дифференциального уравнения порядка n.

Замечание: 2: не существует общего метода решения рекуррентных уравнений, но некоторые частные виды допускают такие методы.

Замечание: Рекуррентное уравнение R задается так же в виде:
x(k+n)-F(k,x(k),x(k+1),…,x(k+n-1))=0 или в неявной форме:
H(k,x(k),x(k+1),…,x(k+n-1))=0, где H – (n+2)-мерная функция.

Комментарии запрещены.