Пример 1. Процесс рождения и гибели. Рассмотрим вероятностный процесс, широко применяемый в различных прикладных областях. Это процесс со счетным числом состояний N = {0, 1, 2, …}. В каждом состоянии v∈N процесс проводит случайное время, которое распределено экспоненциально с параметром λ(v), после чего переходит либо в состояние v + 1 (с вероятностью p_v), либо в состояние v—1 (с вероятностью q_v), q₀ = 0, p_v + q_v = 1. Будем считать, что λ(v) > 0, v ≥ 0, p_v > 0, v ≥ 0 и q_v > 0, v ≥ 1. Из этих условий следует, что p₀ = 1. Величина λ(v)p_v трактуется как интенсивность рождения в состоянии v, а λ(v)q_v — интенсивность гибели в этом же состоянии. Очевидно, что любая функция V(v), не принимающая бесконечных значений, принадлежит множеству D_А. При этом вид оператора А (см. формулу (3.4), где нужно положить v_v = 0) следующий:

AV(v) = λ(v) [p_vV(v + 1) + q_vV(v- 1) — V(v)]. (1)

Введем обозначения:

ρ₀ = 1. ρ_k = λ(0)/λ(k)(ρ₀…ρ_k-1/q₁…q_k), k ≥ 1. (2)

Предположим, что выполнено соотношение

∑1/(λ(k)p_kρ_k)∑ρ_j = ∞. (3)

Докажем, что процесс при этом условии регулярен. Рассмотрим пробную функцию

V(v) = 0, при v = 0,
V(v) = ∑1/(λ(k)p_kρ_k)∑ρ_j, при v > 0. (4)

С помощью формулы (1) легко показывается, что AV(v) = 1 при всех v ≥ 0. Таким образом, функция (4) удовлетворяет условиям 3) и 4) теоремы 4.1 (см. также замечание к этой теореме). Выполнение условия 1) этой теоремы следует из положительности величин λ(k), p_k, ρ_k и формулы (4), а условия 2) — из соотношения (3). Поскольку построенная функция V удовлетворяет всем условиям теоремы 4.1, при условии (3) процесс рождения и гибели регулярен.

Пример 2. Многолинейная система массового обслуживания с относительным приоритетом. Данная система является частным случаем КЛП Гнеденко — Коваленко и ее описание дано ранее в постах. Из формулы (1.4.5) следует, что эта система удовлетворяет условию (11) при К = 1. Кроме того, скорости v^v(j) могут принимать лишь два значения (0 и -1), и при этом число компонент, равных -1, ограничено и не превышает числа каналов N. Поэтому для нахождения условий регулярности воспользуемся результатами предыдущего примера.

Процесс, описывающий данную систему обслуживания, регулярен, если

∑1/Λ(l) = ∞,

Комментарии запрещены.