Фундаментальная система решений, общее решение однородного и неоднородного ЛРУ с помощью ФСР
16.04.2012 |Определение: Нетривиальная система функций f1(k)…fn(k) линейно зависима ⇔ ∃ числа с1…сn≠0 одновременно, для которых c1f1(k) + … + cnfn(k) = 0 ∀k∈N
Определение: Система функций f1(k)…fn(k) линейно зависима ⇔ c1f1(k) + … + cnfn(k) = 0 влечёт с1=…=сn=0.
Определение: Фундаментальной системой решений (ФСР) для неоднородного ЛРУ L(x)=0 называется система из n его независимых решений.
Замечание: ФСР для неоднородного ЛРУ совпадает с ФСР для соответствующего однородного ЛРУ.
Определение: Определитель Казарами для систем функций f1…fn есть определитель:
K = D(f1…fn |k, k+1, …, k+n-1) =
| f1(k) | … | fn(k) |
| f1(k+1) | … | fn(k+1) |
| … | ||
| f1(k+n-1) | … | fn(k+n-1) |
Теорема: Система решений х1(к)…хn(k) для РЛУ L(x)=0 есть ФСР ⇔ определитель Казарами для этой системы отличен от нуля.
Теорема: Общее решение однородной ЛРУ R0 есть xoo = c1x1(k) + … + cnxn(k), где x1…xn – ФСР для R0, а произвольные постоянные с1…сn пробегают R независимо друг от друга.
Следствие ЛП решений для R0 порядка n имеет размерность n. Общее решение неоднородного ЛРУ хон = хчн + хоо = хчн + c1x1(k) + … + cnxn(k).
Замечание: Решить ЛРУ с переменными коэффициентами довольно сложная задача в каждом конкретном случае (как и с ОДУ) Это отдельная задача.
