Пример 3.
Многолинейная система обслуживания с ожиданием. Система обслуживания состоит из N параллельно работающих приборов, на которые в моменты t_n поступают требования θ_n = t_n+1 — t_n. Пусть η_n — время обслуживания n-го требования. Если все приборы заняты, то требования образуют очередь и в дальнейшем обслуживаются в порядке поступления. Если поступившее требование застало в системе свободным хотя бы один прибор, то оно сразу направляется на обслуживание (безразлично, на какой прибор).

Введем в рассмотрение вектор z_n — (z_n(1), …, z_n(N)), где z_n(k) —длительность интервала времени с момента поступления n-го требования до момента, когда впервые по меньшей мере k приборов станут свободными от требований, поступивших раньше n-го. Очевидно, 0 ≤ z_n(1) ≤ … ≤ z_n(N), a z_n(l) — время ожидания n-м требованием начала обслуживания. Пусть е и 1—векторы размерности N, имеющие вид е= (1, 0, …, 0), 1 = (1,1, . .., 1). Тогда векторы z_n+1 и z_n связаны соотношением

z_n+1 = R(z_n+η_ne — θ_n1)⁺, (6)

где запись (⋅)⁺ для вектора означает взятие неотрицательной части от каждой компоненты этого вектора, a R — оператор, упорядочивающий координаты вектора (к которому он применяется) по возрастанию.

Введем двумерный вектор ξ_n = (η_n, θ_n). Предположим, что {ξ_n} — последовательность независимых одинаково распределенных векторов, Н — первый квадрант плоскости. Тогда z_n — марковский процесс с множеством состояний Z={(z(1), … z(N)): 0 ≤ z(1) ≤ z(2) ≤ … ≤ z(N)}. Пусть ||z|| = max z(j),
||ξ||= |η| + |θ|. Равенство (6) является частным случаем соотношения (1.5), причем, как следует из (6),

||R(ω + ηe — θ1)⁺ ≤ ||ω|| + |η|. (7)

и поэтому, если М(η)^γ < ∞, γ > 0, то М_ω|ω_n||^γ < ∞ при любых n и ω ≥ 0. Производящий оператор А определяется равенством AV(ω) = М V[R(ω + ηe - θ1)⁺] — V(ω).

Если М|η| < ∞, то, как следует из неравенства (7), область D_А содержит все функции V, растущие не быстрее линейной: |V(z)| ≤ L||z|| при некотором L > 0 (в частности, удовлетворяющие условию Липшица).

Пример 4.
Многофазная система обслуживания. Рассмотрим N последовательно расположенных однолинейных систем (фаз) типа, описанного в примере 2. При этом поток требований.
обслуженных на первом приборе, является входящим для второй фазы, выходящий поток второй фазы — входящим для третьей и т. д.

Пусть, как и выше, t_n — момент поступления в систему n-го требования, θ_n = t_n+1 — t_n. Обозначим через η_n(k) время обслуживания (n+1)-ro требования на приборе k-й фазы, 1 ≤ k ≤ N. Пусть z_n(k)—длительность пребывания n-го требования на первых k фазах, 1 ≤ k ≤ N. Тогда

z_n+1(1) = 0 ∨ (z_n(1)-θ_n) + η_n(1),

z_n+1(k) =z_n+1(k-1) ∨ (z_n(k) — θ_n) + η_n(1),1 < k < N, (8) z_n+1(N) =z_n+1(N-1) ∨ (z_n(N) — θ_n) + η_n(N)

Очевидно, 0 ≤ z_n(1) ≤ z_n(2) ≤ … ≤ z_n(N). Введем в рассмотрение (N +1)-мерный вектор ξ_n = (η_n(1), …, η_n(N), θ_n), H — пространство (N+ 1)-мерных неотрицательных векторов. Предположим, что {ξ_n} — последовательность независимых одинаково распределенных векторов. Тогда, как следует из соотношений (8), процесс z_n = (z_n(1), …, z_n(N))—однородный марковский вида (1.5) с множеством состояний Z = ((z(1), …, z(N): 0 ≤ z(1) ≤ … ≤ z(N)}. Пусть

||z|| = max|z(j)| =z(N), ||ξ|| = θ + ∑η_n(j).

Поскольку имеет место неравенство

|z_n+1(j)| ≤ z_n(j)|+ ∑η_n(j), (9)

то при max M(η(j))^γ < ∞, γ > 0,имеет место M_zz_n(j) < ∞ при всех n ≥ 0, 1 ≤ j ≤ N, z ∈ Z. Очевидно, равенство (8) можно записать в эквивалентной форме

z_n+1 = F (z_n,

ξ_n), где вид вектор-функции F = (F₁ …, F_N) определяется из (8): F₁(z_n, ξ_n) = max(0, z_n(1) — θ_n) +η_n(1),
F₂(z_n, ξ_n) = max [max (0, z_n(1) — θ_n) +η_n(1)],
и т. д.

Тогда вид производящего оператора А определяется равенством
AV(ω) = М V[F(ω, ξ)] — V(ω), где функция F задана соотношениями (19). Если mах М η(j) < ∞, то, как следует из неравенств (9), область D_A содержит все функции, растущие не быстрее линейной: |V(z)| ≤ L|z| при некотором L > 0 (в частности, удовлетворяющие условию Липшица)

Комментарии запрещены.