Система обслуживания с относительным приоритетом. Дадим теперь пример системы массового обслуживания, описание которой хотя и укладывается в схему (1.5), но не укладывается в схему кусочно-линейных преобразований, определенных в примере 5.

Пусть в однолинейную систему поступает N рекуррентных потоков требований, т. е. в k-м потоке требования поступают через случайные промежутки времени, являющиеся независимыми одинаково распределенными случайными величинами с функцией распределения Н_k(х), 0 ≤ х < ∞. Для обслуживания каждого требования k-ro потока (1 ≤ k < N) необходимо случайное время с функцией распределения В_k (х), причем длительности обслуживания отдельных требований k-го потока — независимо и одинаково распределенные случайные величины. Процессы поступления и обслуживания различных потоков не зависят друг от друга.

Обслуживание происходит в соответствии с дисциплиной относительного приоритета, т. е. если в очереди имеются требования из разных потоков, то первыми обслуживаются требования из потока с наименьшим номером. Процесс обслуживания любого требования происходит без прерывания. Требование, заставшее систему пустой, мгновенно начинает обслуживаться.

За состояние выберем вектор z_n = (z_n(1), …, z_n(N)), где Z_n(k) = ω_n(k) — v_n(k), 1 ≤ k ≤ N, ω_n(k)— время, проведенное в системе требованием k-ro потока, стоящим первым в очереди (если такие требования есть, и в этом случае v_n(k) = 0) к моменту окончания прибором n-го по счету акта обслуживания; если же в этот момент в системе нет требований n-го потока, то полагается ω_n(k) =0, v_n(k) — время, оставшееся до поступления очередного требования k-го потока.

Пространством состояний Z, очевидно, является пространство N-мерных действительных векторов, а динамика процесса z_n определяется так. Пусть ξ_n = (η_n(1),…, η_n(N), θ_n(1),…, θ_n(N)) — 2N-мерный случайный вектор с независимыми компонентами, причем последовательности {η_n(k)} и {θ_n(k)}, 1 ≤ k ≤ N, состоят из независимых одинаково распределенных неотрицательных случайных величин с распределениями B_k и Н_k, 1 ≤ k ≤ N, соответственно, Н — пространство неотрицательных 2N-мерных векторов.

Разобьем пространство Z на подмножества S_k, 1 ≤ k ≤ N,

S_k = {(z (1),…, z [N)): [(z (k) ≥ 0) ∩ (max z (j) < 0) ] ∪ [max z(j) < z(k) < 0]}

Если z(n)∈S_k, то (n+1)-м обслуживаемым требованием является требование k-го потока и в этом случае

z_n+1(k) = z_n⁺(k) — θ_n (k) + η_n (k). (21)

z_n+1(j) = z_n(j) + η_n (k) — z_n^—(k) j ≠ k.

Пусть ||z|| = [∑ z²(j) ]^1/2,
||ξ|| = [∑ (η²(j) + θ²(j) )]^1/2

Очевидно, неравенства (21) являются частным случаем соотношения (1.5), для которого выполнено неравенство (1.9), и, следовательно, если М||ξ||^γ < ∞, γ > 0, то при любом n > 0 и z∈Z, M_z||z_n||^γ < ∞. Производящий оператор А определяется равенством

AV(z(1),…, z(N)) = MV[(z(1) + η(k)-z^—(k), …, z(k—1) + η(k)-z^—(k), z⁺(k) — θ(k) + η(k), z(k + 1) + η(k) — z^—(k),…, z(N) + η(k) — z^—(k))] — V(z(1),…, z(N)), (22)

(z(1),…, z(N))∈S_k, 1 ≤ k ≤ N.

Если max (Mη(k), Mθ(k)) < ∞, то, как следует из (22), область D_A содержит все функции, растущие не быстрее линейной: |V(z)| ≤ L||z||, L > 0 (в частности, удовлетворяющие условию Липшица).

Отметим, что процессы, рассмотренные в примерах 2-6, обладают следующим свойством: Если функция V удовлетворяет условию Липшица и M||ξ|| < ∞, то sup |AV(z)|< ∞.

Комментарии запрещены.