Многолинейная система массового обслуживания с относительным приоритетом. Дадим пример описания конкретной системы обслуживания в виде КЛП Гнеденко—Коваленко.

Пусть в систему, состоящую из N обслуживающих приборов, поступают требования двух типов. Требования первого типа назовем приоритетными, а второго — обычными. Обслуживание однотипных требований происходит в порядке их поступления, и процесс обслуживания каждого требования идет без прерывания. В случае, если в момент поступления какого-либо требования имеется хотя бы один свободный прибор, оно немедленно начинает обслуживаться. В противном случае требование ожидает начала обслуживания. Если в момент освобождения прибора в системе находится хотя бы одно требование, то на обслуживание поступает требование наивысшего приоритета из имеющихся в системе. Если в некоторый момент в системе находятся v₁ приоритетных и v₂ обычных требований, то с интенсивностью Λ₁(v₁, v₂) поступают приоритетные, а с интенсивностью Λ₂(v₁, v₂) —обычные требования. Это означает, что при фиксированных v₁ и v₂ потоки поступающих приоритетных и обычных требований — независимые пуассоновские с параметрами Λ₁ и Λ₂ соответственно. В такую модель укладываются, в частности, схемы с бесконечными и конечными источниками требований. Обозначим Λ(v₁, v₂) = Λ₁(v₁, v₂) + Λ₂(v₁, v₂), p_i(v₁, v₂) = Λ_i(v₁, v₂) [Λ(v₁, v₂)]^-1, i = 1, 2. Пусть длительности обслуживания отдельных требований — случайные величины, не зависящие ни от процесса поступления, ни от длительностей обслуживания остальных требований. Обозначим через B_i(x) функции распределения длительностей обслуживания требований i-ro типа, i = 1,2.

Пусть l — суммарное число требований, находящихся в системе, s — число приоритетных требований, находящихся на обслуживании, α — вектор размерности l, α= (α₁, …, α_l), где величины α_i, имеют следующий смысл. Упорядочим все требования, находящиеся в системе (на обслуживании и в очереди), по моментам их поступления. Тогда α_i = 1 или 0 в зависимости от того, стоит ли на i-месте приоритетное или обычное требование соответственно. При этом число v₁ приоритетных требований в системе определяется равенством v₁ = ∑ α_i, а число обычных требований v₂ = l — v₁.

Обозначим через N множество всевозможных целочисленных векторов v вида v = (l, s, α), где l ≥ 0, α = (α₁, …, α_l) (в случае l = 0 вектор α не определяется), s ≤ N∧v₁. Очевидно, можно установить взаимно однозначное соответствие между множеством Неотрицательных целых чисел N и вместо введенного выше вектора v рассматривать соответствующее ему целое число. Однако мы этого делать не будем, чтобы не терять наглядности представления. Положим |v| = l.

Обозначим z^v(j) время, необходимое для обслуживания требования, стоящего на j-м месте (при введенном порядке по времени поступления). Если j-е требование уже обслуживается, то z^v(j) имеет смысл времени, оставшегося до окончания обслуживания. Тогда процесс z_t с состоянием вида z = (v, z^v), где компоненты v и z^v определены выше, представляет собой КЛП Гнеденко — Коваленко. Приведем конкретный вид параметров процесса в этом случае.

Если v = (l, s, α), v₁ = ∑ α_i; v₂ = l — v₁, то

λ(v) = Λ(v₁, v₂), (4)

p_vμ = p_j (v₁, v₂) если μ = (l + 1, s’, α₁, …, α_l, 2 — j), j = 1, 2,
p_vμ = 0, в противном случае (5)

где s’ = s+1, если l < N и j = 1, s' = s, в противном случае. Иначе говоря, число обслуживаемых приоритетных требований увеличивается на 1 только тогда, когда имеется хотя бы один свободный прибор и поступает приоритетное требование. Функции распределения H_vμ в данном случае одномерны, поскольку |μ| = |v| + 1, и имеют вид H_vμ(x) = В_j(х), если μ = (l + 1, s’, α₁, …, α_l, 2 — j), j = 1, 2. (6)

Компоненты вектора v_v имеют вид: если |v| ≤ N, то
v^v(j) = -1, 1 ≤ j ≤ |v|; (7)
если |v| > N, то
v^v(j) = -α_j, 1 ≤ j ≤ |v|, (8)
где α_j=α_j^(s) — α(_j^(N-s)

Приведенная конструкция вектора v^v соответствует тому, что обслуживаются s первых приоритетных требований и l ∧ N — s первых обычных требований.

Положим теперь

q_vμ(j₁, …, j_m) = 1, если μ = (l-m, s", α(j₁ …,j_m)),
q_vμ(j₁, …, j_m) = 0 в противном случае, (9)

где s" = (∑α_i-s) ∧ (N-l+m) (т. е. на обслуживание
принимается максимально возможное число приоритетных требований). Тем самым рассматриваемая система представлена в виде КЛП Гнеденко — Коваленко.

Комментарии запрещены.