Вводные замечания
Необходимость изучения свойства регулярности возникает естественным образом при рассмотрении возможных типов поведения динамических (в широком смысле) систем. Оказывается, что при определенных условиях траектории могут за конечное время «уйти в бесконечность» или иметь бесконечное число скачков. Такое поведение обычно рассматривается как нежелательное или невозможное, поскольку в реальных системах уход координат в бесконечность за конечное время требует либо бесконечной мощности, либо бесконечной интенсивности расхода других ресурсов. Кроме того, со свойством регулярности тесно связаны и другие качественные свойства — ограниченность, устойчивость и свойства, определяемые моментами первого достижения и возвращения.

Необрывающиеся процессы
Найдем условия, при которых кусочно-линейные процессы z_t вида, определенного в ранее, определены для всех t∈[0, ∞).

Как уже было указано, процесс z_t такого типа является, вообще говоря, обрывающимся. В силу наложенного условия (1.3.2) точкой обрыва может быть лишь момент накопления скачков вследствие дискретного вмешательства случая, который мы обозначим ζ : ζ = lim ζ(j). Будем говорить, что процесс z_t с начальным состоянием z регулярен, если для него ζ = ∞ с вероятностью 1, т. е. Р_z{ζ = ∞} = 1.

Уместно подчеркнуть, что процесс, регулярный при одном начальном условии, не будет, вообще говоря, таковым при другом начальном условии.

Рассмотрим n-й составляющий подпроцесс z_t⁽ⁿ⁾. Найдем некоторые оценки на функцию распределения длительности его жизни. Пусть начальное состояние процесса есть z= (v, z^v), v∈N, z^v∈Г_v. Этому состоянию соответствует время.

t* (z) = inf {u : z^v + v^vu∉Г_v, u > 0}

достижения координатой z^v границы Г_v при условии отсутствия скачков вследствие непрерывного вмешательства случая. Пусть, как и прежде, Λ = sup λ (z).

Оценим функцию распределения P_z{ζ(1) ≤ x} величины ζ(1)—первого момента дискретного вмешательства случая. Если аргумент х этой функции больше величины t*{z), или равен ей, то оценим ее сверху единицей. Если же х < t*(z), то имеем включение {ζ(1) > х}⊃{за время х не произойдет скачка вследствие непрерывного вмешательства случая}. (1)

Но вероятность «меньшего» события в (1) оценивается снизу величиной ехр(-Λx). Следовательно,

P_z{ζ(1) ≤ x} ≤ 1 — exp (-Λx), x < t*(z), (2)

Пусть δ > 0. Обозначим через T_δ такое подмножество Z, для любого элемента z которого время t*(z) > δ, т. е.

T_δ = {z: t*{z) > δ}. (3)

Из (2) и (3) следует, что для z∈T_δ

P_z{ζ(1) ≤ x} ≤ 1 — exp (-Λx), x < δ, (4)

Отсюда в силу однородности марковского процесса z_t имеем при z ∈ Т_δ

Р{ζ(n + 1) — ζ(n) ≤ x/z_ζ(n) = z} ≤ 1 — ехр(-Λx), х < δ. (5)

Предположим теперь, что выполнено следующее

Условие А. Существуют числа δ > 0 и 0 ≤ ε < 1 такие, что

inf P⁽²⁾{z;T_δ} ≥ 1 — ε. (6)

Условие А требует, чтобы из любой граничной точки z процесс «отбрасывался» в множество Т_δ (из которого граница Z* достижима при отсутствии непрерывного вмешательства случая лишь за время, большее δ) с положительной вероятностью (≥ 1 — ε).

Если процесс z_t удовлетворяет условию А, то из (5) и (6) получим, что

sup Р {ζ(n + 1) — ζ(n) ≤ x/z_n* = z} ≤ K(x). (7)

Поскольку оценка (7) равномерна по z∈Z*, то из нее следует, что

sup P_z{ζ(n + 1) ≤ x} ≤ Kⁿ_*, (8)

где Кⁿ_* — n-кратная свертка функции К. Но Kⁿ_*(х) → 0 при любом х > 0. Поэтому из неравенства (8) получаем, что при любых z ∈ Z и х > 0

lim Р_z(ζ(n) ≤ х} = 0,

или, что то же,

P_z{ζ < ∞} = 0. Таким образом, процесс z, рассмотренного вида, удовлетворяющий условию А, регулярен при любом начальном состоянии. В ряде случаев, однако, условие А является стеснительным. Сформулируем менее жесткое условие, при котором равенство (8) сохраняет силу. Вместо функции Р⁽²⁾ рассмотрим последовательность функций {Р₂⁽ⁿ⁾{z; •}), z∈Z*, определяемую рекуррентно:

P₂⁽¹⁾{z; •}=P⁽²⁾{z; •},

P₂^(k+1){z; •}=∫P₂^(k){z;dy}P⁽²⁾{y*; •}, k ≥ 1,

где при состоянии у вида (v, у^v) у* имеет вид у* = (v, у^v + t*(y)v^v), т. е. у* — состояние из множества Z*, в которое попала бы траектория, начинающаяся в у, если бы не было скачков вследствие непрерывного вмешательства случая.

Смысл вероятностей P₂^(k) {z; B} очевиден —это распределение состояний процесса непосредственно после k скачков вследствие дискретного вмешательства случая при отсутствии скачков вследствие непрерывного вмешательства случая и при начальном состоянии z∈Z*.

Условие В. Существуют числа δ > 0, 0 ≤ ε < 1 и целое N ≥ 1 такие, что

inf max P₂^(k){z; T_δ} ≥ 1 — ε. (10)

Физический смысл условия В весьма прост. Оно требует, чтобы из любой граничной точки z процесс «отбрасывался» не более чем за N шагов в множество Т_δ с положительной вероятностью (≥ 1 — ε).

Очевидно, условие А есть частный случай условия В.

Лемма 1. Если процесс z_t удовлетворяет условию В, то при любом z∈Z имеет место

Р_z{ζ = ∞} = 1. (11)

Доказательство. Из условия В, так же как и при доказательстве неравенства (7), можно получить, что для любого k ≥ 0

sup P(ζ(k + 1)N — ζ(kN) ≤ x/z_kN* = z} ≤ K(x).

Отсюда, как и выше, следует регулярность процесса z_t.

Комментарии запрещены.