Пример 1.
Цепь Маркова со счетным числом состояний. Пусть Z = {0, 1, 2, …}. Тогда процесс z_t называется однородной цепью Маркова со счетным числом состояний. Здесь этот процесс не связывается с описанием какой-либо конкретной системы, поскольку он применяется в самых разнообразных ситуациях. Как известно, динамика однородного марковского процесса полностью определяется матрицей переходных вероятностей Р=(Р_ij), i, j = 0, 1, 2, … В соответствии с формулой (1.1) действие производящего оператора А задается выражением

AV(k)= ∑p_kj V(j)-V(k). (1)

При этом V∈D_A(k), если правая часть формулы (1) конечна. Вид области определения D_A зависит, очевидно, от матрицы Р. Например, если Р удовлетворяет условию

sup ∑ p_kj |j-k| < ∞

то множество D_A включает, в частности, все функции, удовлетворяющие условию Липшица.

Пример 2.
Однолинейная система обслуживания. Рассмотрим систему массового обслуживания с ожиданием, состоящую из одного прибора, на которую поступает ординарный поток требований, порядок обслуживания — прямой, прибор забирает из очереди (если она не пуста) требования по мере своего освобождения. Если же система пуста, то поступающее требование сразу начинает обслуживаться. Обозначим через t_n момент поступления в систему n-го требования, θ_n = t_n+1 — t_n, η_n — время обслуживания n-го требования, ξ_n = η_n — θ_n, ω_n — время ожидания n-м требованием начала обслуживания, v_n — время простоя прибора непосредственно перед началом обслуживания n-го требования, z_n = ω_n — v_n.

Очевидно, ω_n v_n = 0.

Нетрудно видеть, что

z_n+1 = z_n⁺ + ξ_n. (2)

Отметим, что ω_n = z_n⁺, и, следовательно, из (2) можно получить соотношение

ω_n+1 = (ω_n + ξ_n). (3)

Предположим теперь, что {ξ_n} — последовательность независимых одинаково распределенных случайных величин. Тогда процессы z_n и ω_n являются однородными марковскими. Множеством состояний процесса z_n является вся действительная прямая (-∞, ∞). Множеством состояний процесса ω_n является полупрямая [0, ∞). Оба эти процесса заданы рекуррентными соотношениями типа (1.5). Поскольку

|z⁺ + ξ| ≤ |z| + |ξ|, -∞ < z < ∞ (ω + ξ) ≤ ω + ξ⁺, ω ≥ 0,

то из утверждений, приведенных ранее, следует, что М_ωω_n^γ < ∞ при всех ω, n, если M(ξ⁺)^ω < ∞ и M_z|z_n|^γ < ∞ при всех z, n, если М|ξ|^γ < ∞, γ > 0. Производящие операторы А, А’ для процессов z_n, ω_n определяются соответственно выражениями

AV(z) = МV(z⁺ + ξ) -V(z), (4)
A’V(ω) = МV[(ω + ξ)⁺] — V(ω). (5)

Если М|ξ| < ∞, (М ξ⁺ < ∞), то, как следует из равенств (4) и (5), области D_A(D_А’) содержат все функции, растущие не быстрее линейной: |V(z)| ≤ L(z) при некотором L>0 (в частности, удовлетворяющие условию Липшица).

Комментарии запрещены.