Лемма 1. Если S₁ — ς(ϑ)-оператор, S₁ : ϑ→ψ, S₂ς(ψ)-оператор, S₂:ψ→β, то оператор S = S₂S₁ является ς(ϑ)-оператором.

Покажем, что оператор R, упорядочивающий координаты вектора по возрастанию является ς-оператором. Пусть дан m-мерный вектор (f₁, …, f_m). Легко проверить, что оператор R задается равенством

R(f₁, …, f_m)=[g₁(f₁, …, f_m),…, g_m(f₁, …, f_m)], (13)

где

g_i(f₁, …, f_m) = max [(max f_j)∧(min f_j)] 1 ≤ i < m, g_m(f₁, …, f_m) = max f_j

a m—множество различных выборок размера i из набора
(1,…, m).

Из вида (13) функций g_i и утверждения леммы 1 следует, что они являются ς(ϑ)-функциями, и, следовательно, R — ς-оператор.

Сформулируем несколько важных свойств ς-функций.

Лемма 2. Пусть g — ς-функция, порождаемая набором (f₁, …, f_m). Тогда при любых х, х’ ∈R^v,

|g(x) — g(x’)| ≤ max |f_i(x) — f_i(x’)|. (14)

Доказательство. Пусть g ∈ ς_k(ϑ). Доказательство проведем индукцией по k.

Для k = 1 утверждение тривиально.

Пусть лемма верна для некоторого k. Докажем, что тогда она верна для значения k + 1. В самом деле, если g∈ς_k+1, то либо g∈ς_k и тогда справедливость леммы следует из предположения индукции, либо (в силу (11)) g..имеет вид g = g₁∧₂ или g = g₁∨₂, где g_i∈ς_k(ϑ), i =1, 2.

Но для любых функций g₁ и ₂ справедливы неравенства

|g₁∧₂(x) — g₁∧₂(x’)l ≤ |g₁(x) — g₁(x’)| ∨|g₂(x) — g₂(x’)|, (15)

|g₁∨₂(x) — g₁∨₂(x’)l ≤ |g₁(x) — g₁(x’)| ∨|g₂(x) — g₂(x’)|, (16)

и, пользуясь предположением индукции, получаем утверждение леммы.

Лемма 3. Пусть g является ς-функцией, порожденной набором ϑ = (f₁, …, f_m). Тогда при любом действительном числе λ функция λg также является ς-функцией, порождаемой набором
(λf₁, …, λf_m).

Доказательство. Пусть g∈ς_k, и пусть g₁, g₂ — ς-функции, порождаемые набором ϑ, g₁∈ς₁, g₂∈ς_s, l < k, s < k, причем либо g = g₁ ∨ g₂, либо g = g₁ ∧ g₂.

Если λ > 0, то либо

λg = λ(g₁ ∨ g₂) = λg₁ ∨ λg₂, (17)
либо
λg = λ(g₁ ∧ g₂) = λg₁ ∧ λg₂. (18)

Если λ < 0, то либо

λg = λ(g₁ ∨ g₂) = λg₁ ∨ λg₂, (19)
либо
λg = λ(g₁ ∧ g₂) = λg₁ ∧ λg₂. (29)

Из (17) — (29), учитывая способ построения ς-функций (11), по индукции элементарно получается утверждение леммы.

Лемма 4. Пусть g является ς-функцией, порождаемой набором (f₁, …, f_m). И пусть f — некоторая функция, заданная на R^v (где заданы и все f_i). Тогда функция g+f также является ς-функцией, порождаемой набором (f₁+f, …, f_m+f).

Доказательство с очевидностью следует из (11).

Лемма 5. Пусть g₁=g₁(f₁, …, f_m) и g₂=g₂(h₁, …, h_m) две ς-функции. Тогда при любых действительных λ₁ и λ₂ функция λ₁g₁+λ₂g₂ является ς-функцией, порождаемой набором {λ₁g_i+λ₂g_j}, i = 1, …, m, j = 1, …, k.

Доказательство. В силу лемм 3 и 4 функция λ₁g₁+λ₂g₂ является ς-функцией, порождаемой набором {λ₁f₁+λ₂g₂,…, λ₁f_m+λ₂g₂}. В свою очередь, из тех же лемм следует, что каждая из функций λ₁f_i+λ₂g₂ этого набора является ς-функцией, порождаемой набором {λ₁f_i+λ₂h₁,…, λ₁f_i+λ₂h_k}, откуда следует утверждение леммы.

Широкий класс систем массового обслуживания описывается рекуррентным соотношением (1.5) с функцией F, являющейся кусочно-линейным преобразованием. Так, с помощью лемм

1—5 легко видеть, что функции, стоящие в правых частях равенств (2), (3), (6), (8) являются кусочно-линейными преобразованиями. Вид преобразований дается указанными равенствами. Приведем лишь вид образующих функций. В примере 2 — это соответственно функции
l₁(z, ξ) = ξ, l₂(z, ξ) = z + ξ (для уравнения (2)),
l₁(w, ξ) = 0, l₂{w, ξ) = w + ξ (для уравнения (3)).

Комментарии запрещены.