Список вопросов к экзамену по математическому анализу

1. Определение числового ряда, сходящегося ряда. Привести пример сходящихся и расходящихся рядов. Необходимое условие сходимости числового ряда. Привести пример использования необходимого условия для определения расходимости ряда.

2. Свойства сходящихся рядов. Теорема о рядах сравнения; следствие из теоремы. Привести пример применения теоремы.

3. Признаки Даламбера и Коши сходимости числовых рядов. Привести примеры.

4. Интегральный признак сходимости числовых рядов. Привести пример.

5. Определение знакочередующегося ряда. Признак Лейбница сходимости знакочередующегося ряда. Привести пример.

6. Определение знакопеременного ряда. Определение абсолютной и условной сходимости рядов. Свойства абсолютно сходящихся рядов. Привести примеры рядов сходящихся абсолютно и условно.

7. Теорема о связи абсолютной и обычной сходимости знакопеременных рядов. Теорема об абсолютной сходимости при перестановке членов ряда. Теорема Римана.

8. Определение функционального ряда. Определение сходимости функционального ряда в точке и на множестве. Определение абсолютной сходимости функциональных рядов. Привести примеры абсолютно сходящихся функциональных рядов.

9. Определение области сходимости функционального ряда, n-го остатка ряда. Привести примеры областей сходимости.

10. Определение равномерной сходимости, определение мажорируемого ряда. Привести примеры. Свойства равномерно сходящихся рядов.

11. Признак Вейерштрасса равномерной сходимости рядов. Привести пример использования признака. Теорема об условиях непрерывности суммы ряда (следствия из теоремы).

12. Теоремы о почленном интегрировании и дифференцировании функциональных рядов. Привести примеры рядов, которые можно интегрировать и дифференцировать.

13. Определение степенного ряда; радиуса сходимости, интервала сходимости степенного ряда. Привести примеры. Определение аналитической функции. Теорема о представлении аналитической функции степенным рядом.

14. Определение рядов Тейлора и Маклорена. Необходимое и достаточное условие сходимости ряда Тейлора. Достаточное условие сходимости ряда Тейлора.

15. Определение дифференциального уравнения и его решения. Определение обыкновенного дифференциального уравнения, порядка дифференциального уравнения. Геометрический смысл дифференциального уравнения. Привести примеры обыкновенного дифференциального уравнения.

16. Определение интеграла дифференциального уравнения и его интегральной кривой. Привести примеры неявно заданных дифференциальных уравнений. Определение задачи Коши дифференциального уравнения первого порядка. Теорема существования и единственности решения задачи Коши.

17. Определение общего и частного решения дифференциального уравнения, общего и частного интеграла дифференциального уравнения. Определение уравнения в дифференциальной форме. Привести пример общего и частного решения дифференциального уравнения первого порядка.

18. Определение дифференциального уравнения с разделенными переменными. Теорема об общем интеграле такого уравнения. Определение дифференциального уравнения с разделяющимися переменными. Теорема об общем интеграле такого уравнения. Привести пример решения уравнения с разделяющимися переменными. Метод решения уравнений вида y'=f(ax+by). Привести пример решения подобного уравнения.

19. Определение однородной функции n-го измерения. Привести пример такой функции. Определение однородного дифференциального уравнения первого порядка. Привести примеры таких уравнений в дифференциальной форме. Сформулировать метод решения однородного дифференциального уравнения первого порядка. Привести пример.

20. Определение линейного дифференциального уравнения первого порядка. Теорема о существовании и единственности решения задачи Коши для линейного дифференциального уравнения первого порядка. Сформулировать метод решения линейного дифференциального уравнения первого порядка. Привести пример.

21. Определение уравнения Бернулли. Сформулировать метод решения уравнения Бернулли.

22. Определение дифференциального уравнения порядка n, разрешенного относительно старшей производной. Определение общего и частного решения дифференциального уравнения порядка n. Определение общего и частного интеграла дифференциального уравнения порядка n.

23. Определение задачи Коши дифференциального уравнения n-го порядка. Теорема существования и единственности решения задачи Коши дифференциального уравнения n-го порядка. Определение краевой задачи для дифференциального уравнения n-го порядка. Привести пример краевой задачи.

24. Методы решения уравнений, допускающих понижение порядка. Привести примеры решения подобных уравнений.

25. Определение линейного дифференциального уравнения второго порядка, линейного однородного и линейного неоднородного дифференциальных уравнений второго порядка. Теорема существования и единственности решения задачи Коши линейного дифференциального уравнения 2-го порядка. Определение определителя Вронского и фундаментальной системы решений линейного однородного дифференциального уравнения 2-го порядка. Теорема об общем решении линейного однородного дифференциального уравнения 2-го порядка.

26. Определение линейного однородного дифференциального уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами и его характеристического уравнения. Вид общего решения линейного однородного дифференциального уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами в зависимости от корней характеристического уравнения. Привести примеры.

27. Определение линейного неоднородного дифференциального уравнения 2-го порядка. Теорема о виде общего решения линейного неоднородного дифференциального уравнения 2-го порядка. Общий вид частных решений линейного неоднородного дифференциального уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами в случае, когда правая часть уравнения имеет вид Pn(x)eax.

28. Общий вид частных решений линейного неоднородного дифференциального уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами в случае, когда правая часть уравнения имеет вид eax(Pm(x)cosbx+Qk(x)sinbx).


Комментарии запрещены.





Статистика

Рейтинг@Mail.ru