Определение: Уравнение L(x(k)) = x(k+n) + a₁(k)x(k+n-1) + … + a_n(k)x(k) = {0, F(k)}, причём: 0 – (R₀) однородное уравнение, F(k) – R₁ неоднородное уравнение.

где a_i(k) – функция в N→R, i = 1…n и F(k)≠0 (тривиально) – неизвестная функция, x(k) – неизвестная функция, называются линейными рекуррентными уравнениями (ЛРУ) однородными и неоднородными соответственно с переменными коэффициентами.

Число n в R₀ называется порядком уравнения.
Коэффициент a₀ при х(k+n) может быть ≠1, сделаем его таковым, разделив R₀(R₁) на а₀. Однородное ЛРУ L(x(k)) = 0 называется соответствующим неоднородному ЛРУ Lx(k)) = F(k).

Замечание: Последовательности, являющиеся решением ЛРУ иногда называют возвратными последовательностями.

Утверждение: Оператор L(x) линеен.

Доказательство:
Пусть x(k) и y(k) – произвольные функции и c∈R.
1. L(x+y) = (x(k+n) + y(k+n)) + a_i(x(k+n-1) + y(k+n-1) + … + a_n(x(k) + y(k)) = x(k+n) + a₁x(k+n-1) + … + a_nx(k) + y(k+n) + a₁(k+n-1) + … + a_ny(k) = L(x) + L(y)
2. L(cx) = cx(k+n) + ca₁x(k+n-1) + … + ca_nx(k) = c(x(k+n) + … + a_nx(k)) = cL(x)

Теорема: Множество всех решений однородного ЛРУ является ЛВП.

Доказательство:
Пусть х(к), y(k) – произвольное решение однородного ЛРУ R0 и c∈R => L(x(k))=0 и L(y(k))=0, тогда выполняются следующие операции:
1. L(x+y) = L(x) + L(y) (≡ 0 = 0+0)
2. L(cx) = cL(x) (≡ 0 = c0)

Мы получили, что множество М решений однородного ЛРУ замкнуто относительно линейных операций. Восемь аксиом ЛВП выполняются для М как для множества (подмножества) всех функций х(к) из ЛВП всех таких функций, следовательно, множество М есть ЛВП.

Теорема: Общее решение неоднородного ЛРУ есть сумма какого-либо его частного решения и общего решения соответствующего однородного ЛРУ.

Доказательство
Пусть x(k) и y(k) – пара решений неоднородного ЛРУ L(x(k)) = F(k), следовательно их разность есть решение соответствующего однородного ЛРУ L(x(k)) = 0, так как
L(x-y) = L(x) – L(y) = F(k) – F(k) = 0.

Пусть x_оо = G(c₁…c_n, k) – общее решение однородного ЛРУ и х_чн(л) – какое-либо частное решение неоднородного ЛРУ R₁. Покажем, что х_он = х_оо + х_чн
1. Функция х_он = х_оо + х_чн есть решение ЛРУ R₁ при ∀с₁…с_n, так как L(x_oн) = L(x_oo + x_чн) = L(x_oo) + L(x_чн) = 0 + F(k) = F(k)
2. Покажем, что для любого частного решения z(k) неоднородного ЛРУ R₁ найдутся числа с₁…с_n, для которых z(k) = G(c₁…c_n, k) + x_чн(к):
Зафиксируем числа d₁…d_n и построим функцию y(k) = G(d₁…d_n, k) + x_чн(k). Разность z(k)–y(k) есть решение однородного ЛРУ и потому найдутся числа l₁…l_n, для которых z(k)-y(k) = G(l₁…l_n, k). Отсюда
z(k) = y(k) + G(l₁…l_n, k) = G(d₁…d_n, k) + x_чн + G(l₁…l_n, k) = U(k) + x_чн(k), где Г = G(d₁…d_n, k) + G(l₁…l_n, k) как сумма двух решений для R₀ есть снова решение для R₀. Поэтому найдутся числа с₁…с_n, для которых U(k) = G(l₁…l_n, k), следовательно
z(k) = G(c₁…c_n, k) + x_чн(k).

Комментарии запрещены.