Устойчивость на всей оси времени

Ранее рассматривалась задача анализа устойчивости предельных режимов у изучаемых процессов. В соответствии с этим в расчет принимались либо меры отклонения финальных распределений (слабая устойчивость в пределе), либо меры отклонения, усредненные по времени (устойчивость в среднем по времени). Если априори известно, что рассматриваемая система функционирует «достаточно долго», то анализ устойчивости в смысле приведенных определений оправдан, практически важен и может дать существенную информацию относительно ее поведения. Однако такая ситуация встречается далеко не всегда. Часто длина отрезка функционирования заранее не определяется и неизвестна. Поэтому (и наряду с этим) неизвестно также «время вхождения» системы в установившийся режим. Не исключены и случаи отсутствия «установившегося режима». Эти обстоятельства ведут к необходимости изучения устойчивости, которая является равномерной относительно времени, а также скорости сходимости к финальным распределениям.

Предполагается, что

zt+1 = F(zt, ξt),

где zt=(zt(1), …, zt(v))∈Z, (ξt(1), …, ξt(r)))∈Ψ, множества Z и Ψ наделены метриками ρz и ρΨ, α = (z0, ξ0, ξ1, …). Аналогичные обозначения вводятся и для возмущенного процесса zt*, причем предполагается, что {(ξk, ξk*)} —последовательность независимых одинаково распределенных пар. Обозначим μ1(z0, z0*) и μ2i, ξi*) некоторые расстояния между случайными величинами z0, z0 и ξi, ξi* соответственно. Пусть μ(α, α*) = max (μ1(z0, z0*), μ1i, ξi*)), а h(zt, zt*) — некоторое расстояние между случайными величинами zt и zt* (вообще говоря, определяемое их совместным распределением).

Сам факт наличия устойчивости и соответствующие количественные оценки зависят от выбираемых расстояний h и μ. Их выбор диктуется, с одной стороны, содержательной стороной задачи, для решения которой анализируется устойчивость. С другой стороны, выбор расстояний может диктоваться применяемым методом анализа и тем фактическим материалом, который при этом используется. Иногда анализ устойчивости, проведенный в одних метриках, может оказаться полезным для аналогичного анализа в других метриках ввиду имеющихся соотношений между различными расстояниями. Поэтому конкретизировать вид h и μ мы будем по мере необходимости.

Определение 1. Процесс zt назовем (h, μ)-устойчивым в точке α, если для любого ε > 0 существует такое число δ = δ(ε) > 0, что при μ(α, α*) < δ имеет место неравенство sup h(zt, zt*) < ε. Число δ = δ(ε) назовем модулем устойчивости; ниже будут даны его оценки в различных ситуациях. Поскольку начальное состояние (z0, z0*) и управляющая последовательность {(ξk, ξk*)} играют различную функциональную роль, то удобно это обстоятельство отразить в определении.

Определение 2. Процесс zt назовем (h, μ1, μ2)-устойчивым в точке α = (z0, ξ0, ξ1, …), если для любого ε >0 существуют такие числа δ1 = δ1(ε) > 0 и δ2 = δ2(ε) > 0, что при μ1(z0, z0*) < δ1, μ1i, ξi*) < δ2 имеет место неравенство sup h(zt, zt*) < ε.


Оставить комментарий





Статистика

Рейтинг@Mail.ru