Образовательный блог – всё для учебы

Ранее рассматривалась задача анализа устойчивости предельных режимов у изучаемых процессов. В соответствии с этим в расчет принимались либо меры отклонения финальных распределений (слабая устойчивость в пределе), либо меры отклонения, усредненные по времени (устойчивость в среднем по времени). Если априори известно, что рассматриваемая система функционирует «достаточно долго», то анализ устойчивости в смысле приведенных определений оправдан, практически важен и может дать существенную информацию относительно ее поведения. Однако такая ситуация встречается далеко не всегда. Часто длина отрезка функционирования заранее не определяется и неизвестна. Поэтому (и наряду с этим) неизвестно также «время вхождения» системы в установившийся режим. Не исключены и случаи отсутствия «установившегося режима». Эти обстоятельства ведут к необходимости изучения устойчивости, которая является равномерной относительно времени, а также скорости сходимости к финальным распределениям.

Предполагается, что
z_t+1 = F(z_t, ?_t),

где z_t=(z_t(1), …, z_t(v))?Z, (?_t(1), …, ?_t(r)))??, множества Z и ? наделены метриками ?_z и ?_?, ?= (z₀, ?₀, ?₁, …). Аналогичные обозначения вводятся и для возмущенного процесса z_t*, причем предполагается, что {(?_k, ?_k*)} —последовательность независимых одинаково распределенных пар. Обозначим ?₁(z₀, z₀*) и ?₂(?_i, ?_i*) некоторые расстояния между случайными величинами z₀, z₀ и ?_i, ?_i* соответственно. Пусть ?(?, ?*) = max (?₁(z₀, z₀*), ?₁(?_i, ?_i*)), а h(z_t, z_t*) — некоторое расстояние между случайными величинами z_t и z_t* (вообще говоря, определяемое их совместным распределением).

Сам факт наличия устойчивости и соответствующие количественные оценки зависят от выбираемых расстояний h и ?. Их выбор диктуется, с одной стороны, содержательной стороной задачи, для решения которой анализируется устойчивость. С другой стороны, выбор расстояний может диктоваться применяемым методом анализа и тем фактическим материалом, который при этом используется. Иногда анализ устойчивости, проведенный в одних метриках, может оказаться полезным для аналогичного анализа в других метриках ввиду имеющихся соотношений между различными расстояниями. Поэтому конкретизировать вид h и ? мы будем по мере необходимости.

Определение 1. Процесс z_t назовем (h, ?)-устойчивым в точке ?, если для любого ? > 0 существует такое число ? = ?(?) > 0, что при ?(?, ?*) < ? имеет место неравенство sup h(z_t, z_t*) < ?.

Число ? = ?(?) назовем модулем устойчивости; ниже будут даны его оценки в различных ситуациях.

Поскольку начальное состояние (z₀, z₀*) и управляющая последовательность {(?_k,?_k*)} играют различную функциональную роль, то удобно это обстоятельство отразить в определении.

Определение 2. Процесс z_t назовем (h, ?₁, ?₂)-устойчивым в точке ? = (z₀, ?₀, ?₁, …), если для любого ? >0 существуют такие числа ?₁ = ?₁(?) > 0 и ?₂ = ?₂(?) > 0, что при ?₁(z₀, z₀*) < ?₁, ?₁(?_i, ?_i*) < ?₂ имеет место неравенство sup h(z_t, z_t*) < ?.

1. Устойчивость регенерирующих процессов
2. Оценки в случае дискретного времени
3. Оценки в случае непрерывного времени
4. Неустойчивости по Ляпунову и асимптотическая устойчивость по Ляпунову
5. Качественные свойства, представляющие интерес при разработке сложных систем
6. Асимптотической устойчивости по Ляпунову. Неустойчивости по Ляпунову
7. Вопросы по АФХД
8. Примеры устойчивости по первому приближению
9. Различные UNIX-утилиты: ssh-инструменты, генерация md5, subshell.c-ошибки на консоли, ntpdate – синхронизация времени
10. Ограниченность для процессов с дискретным временем
11. Примеры устойчивости предельных режимов
12. Сходимость и метрики
13. Усиленный закон больших чисел
14. Достижимость для КЛП
15. Примеры критериев Рауса-Гурвица и Льенара-Шипара
16. Определение ?(?) – функций, кусочно-линейной функции
17. Теорема об устойчивости. Теорема об неустойчивости