Кусочно-линейные марковские процессы с непрерывным временем

Один из способов анализа немарковского процесса состоит в расширении пространства его состояний, для того, чтобы включить в понятие состояния всю ту информацию о предыстории исходного процесса, которой полностью определяется его будущее течение. Иногда такая информация может быть задана в виде конечномерного вектора. Именно такому способу анализа немарковских процессов и обязана своим возникновением схема кусочно-линейных марковских процессов (КЛП).

Введем необходимые понятия. Множество Т рассматриваемых моментов времени имеет вид Т = [0, ∞]. Состояние процесса в момент времени t∈T обозначим zt. Каждое состояние z имеет вид z= (у, zv), где первая компонента v принимает значения из множества N = {0, 1, …}.
Замечание. Иногда удобно вместо множества целых чисел рассматривать какое-либо другое конечное или счетное множество. Такое изменение, конечно, не принципиально, поскольку любое счетное множество можно взаимно однозначно отобразить на множество натуральных чисел.

Число элементов множества N может быть конечным или счетным. Каждому элементу v∈N поставим в соответствие целое неотрицательное число |v| и пространство Rv|v|-мерных действительных векторов с какой-либо из метрик, описанных ранее. В каждом Rv|v| зададим открытое выпуклое множество (без границы) Гv. Будем допускать случай, когда |v| =0 для некоторых v∈N. При этом множество Гv и другие объекты, сопутствующие координате zv, не определяются, а само состояние z отождествляется с первой компонентой: z = v. Компоненту v назовем основным состоянием, вектор zv — вектором дополнительных координат, а величину |v| — рангом основного состояния v. Множество основных состояний, имеющих ранг n, будем обозначать N(n), N = ∪N(n). Обозначим через Гv* замыкание множества Гv в пространстве Rv|v|, а через Гv** — границу множества Гv, Гv** = Гv*\Гv. Будем считать, что вторая компонента zv вектора z
принимает значения из множества Гv. Таким образом, пространство состояний Z представляет собой множество всевозможных пар (v, zv), где zv∈Гv, v ∈ N.

Введем в Z расстояние pz следующим образом. Пусть z = (v, zv), z’ = (μ, zμ). Тогда
pz (z, z’) = [(v — μ)2 + ∑ (zv(i) — zμ(i))2]1/2 (1)

Здесь zv = (zv(1), …, zv(|v|)), zμ = (zμ(1), …, zμ(μ)). Поскольку величины |v| и |μ| конечны, то считается, что в сумме, стоящей под знаком радикала, zv(i) = 0, i > |v|, zμ(j) = 0, j > |μ|. Будем также обозначать при z = (v, zv)

||z|| = [v2 + ∑(zv(i))2]1/2.

Иногда удобнее рассматривать другие (эквивалентные в смысле сходимости) метрики:

pz (z, z’)= max {|v — μ|, max |zv (i) — zμ (i)|},

(соответственно ||z|| = max {|v, max |zv (i)|} и
pz(z, z’) = |v — μ| + ∑|zv(i) — zμ(i)|
(соответственно |z| = v + ∑|lzv(i)l)

Обозначим Z* замыкание Z по метрике pz, т. е. множество всевозможных пар (v, zv) вида v∈N, zv∈Гv*. Очевидно, что замыкания по любой из перечисленных метрик совпадают друг с другом.

Обозначим также Z* = Z**\Z. Если множество В⊂Z то через В* будем обозначать множество В* = {z:z∈Z*, pz(z,B) = 0}.

Опишем теперь динамику процесса zt. Для каждого состояния z = (z, zv)∈Z определяется интенсивность λ(z) выхода из этого состояния и скорость vv = (vv(1), …, vv(v)) изменения вектора zv Точка, изображающая состояние процесса, движется со скоростью vv в множестве Гv, пока не произойдет скачок. Распределение состояния после скачка зависит от точки, откуда произошел скачок. Скачок обязательно происходит, если точка выходит за границу одного из множеств Гv (назовем его скачком вследствие дискретного вмешательства случая) Кроме того, с плотностью λ(z) происходит скачок из внутренней точки множества Z (назовем его скачком вследствие непрерывного вмешательства случая). Предположим сначала, что функция λ(v, zv), рассматриваемая как функция zv кусочно-непрерывна в Гv и кроме того,

Λ = sup λ(z) < ∞, sup |vv(j)|< ∞. (2)

Условие (2) является стеснительным и далее будет снято.

Состояния процесса после скачков вследствие непрерывного и дискретного вмешательств случая задаются распределениями Р1 и Р2 соответственно:

P1{z; •}, z∈Z, P1{z; Z} = 1, P2{z; •}, z∈Z*, P2{z; Z} = 1.

Таким образом, если zt = z = (v, zv)∈Z, то за «малое» время Δt могут совершиться следующие переходы: (v, zv)→(v, zv + vvΔt) с вероятностью 1—λ(v, zv)Δt + о(Δt); (v, zv)→(μ, zμ), zμ ∈B⊂Гμ с вероятностью λ(v, zv)P(1){(v, zv); {μ, R)}Δt + o(Δt).

Если lim zs = (v, zv) ∈ Z* (т. e. zv∈Гv*), то zt, является случайным вектором, принимающим одно из значении zt = (&mu, z&mu), z&mu ∈ B⊂Г&mu, с вероятностью P(2){(v, zv); (&mu, В)}.

В силу наложенных ограничений из состояний, для которых |v|=0, могут совершаться лишь скачки вследствие непрерывного вмешательства случая. Условимся обрывать рассматриваемый процесс в точке накопления скачков вследствие дискретного вмешательства случая.

Пусть Q — некоторое распределение на Z, т. е. каждому множеству вида (v, В), В⊂Гv, распределение Q приписывает вероятность Q(v, В). Ниже запись вида

∫ f(z)Q(dz)

будет использоваться для сокращения записи

∑∫ f(v, zv)Q(v, dzv)

Обозначим

Mif(z)=∫Pi{z; dy}f(y), i = 1,2. (3)

Более подробно динамика z, описывается следующим образом. Если zt = (v, zv), zv∈Гv, то zs=(v, zv + vv(s-t)) при t ≤ s < t + φ∧t*. Здесь момент f* является детерминированным: t* = t*(z) = inf {u : zv + vvu∉Гv, u > 0}, |v| ≠ 0, (4)
t* = ∞, |v| = 0, а φ — случайная величина с распределением

Р {φ ≤ х) = 1 — exp {-∫λ(v, zv + vvy) dy}.

Если φ < t*, то в момент t + φ происходит скачок процесса (непрерывное вмешательство случая), а значение zt + φ является случайным и определяется распределением

P(1) {(v, zv + vvφ); •}.

Если φ ≥ t*, то в момент t+t* происходит скачок процесса (дискретное вмешательство случая), а значение zt+t* является случайным и определяется распределением P(2){(v, zv + uvt*); •}.

Пусть ζ(n), n ≥ 0,— последовательные моменты скачков процесса zt, вследствие дискретного вмешательства случая, ζ(0) = 0. Естественно представлять процесс z, «сшитым» из обрывающихся подпроцессов ztn так, что

zt = z t-ζ(n-1)n,
ζ(n-1) ≤ t < ζ(n), n ≥ 1. (5) Динамика z tn полностью определяется заданием функций λ(z) и Р(1), его начальное распределение определяется функцией Р(2), а моментом обрыва является момент достижения Z*.

Таким образом, каждая траектория процесса zt, представляет собой кусочно-линейную функцию, совершающую скачки в моменты «вмешательства случая» (дискретного и непрерывного) и определяемую лишь до первого момента накопления скачков. В силу ограниченности функции λ(z) (см. условие (2)) накапливаться могут только моменты дискретного вмешательства случая.

Несложно написать рекуррентные соотношения, определяющие переходные функции как подпроцессов z tn, так и процесса zt, Однако здесь они не приводятся, поскольку далее не понадобятся. Отметим лишь, что в общем случае эти функции являются несобственными, поскольку рассматриваемые процессы — обрывающиеся.


Оставить комментарий





Статистика

Рейтинг@Mail.ru