Сравнение мощностей. Теорема Кантора-Бернштейна.
03.07.2010 |Пусть А и В – произвольные множества и |A|, |B| — их мощности. Априори возможны 4 случая:
1) А эквивалентно некоторому подмножеству множества В, и В эквивалентно некоторому подмножеству множества А.
2) А эквивалентно некоторому подмножеству из В и В не эквивалентно никакому подмножеству из А.
3) В эквивалентно некоторому подмножеству из А и А не эквивалентно никакому подмножеству из В.
4) Множество А не эквивалентно никакому подмножеству из В и В не эквивалентно никакому подмножеству из А.
Замечание: Можно показать, что случай 4 невозможен, а случаи 1,2,3 записываются, как: |A|=|B|, |A|≤|B|, |A|≥|B|.
Теорема: (Кантора-Бернштейна): Если множество А эквивалентно подмножеству В1 множества В и множество В эквивалентно некоторому подмножеству А1 множества А, то множества А и В эквивалентны, то есть имеют одинаковую мощность.
Коротко. |A|≤|B|&|B|≤|A|→|A|=|B|.
Следствие: Если A ⊆ B, то |A|≤|B|
