Определение: Полугруппа S есть универсальная алгебра (S, {*}) с первой бинарной операцией x*y: SxS → S (умножение), удовлетворяющей аксиоме ассоциативности: ∀x, y, z ∈ S.
1) x*(y*z) = (x*y)*z.
Полугруппа коммутативна, если
2) x*y = y*x.

Замечание: Иногда * заменяют •, иногда опускается.

Определение: Единица полгруппы S есть e, удовлетворяющий равенствам x*e = e*x = x.

Замечание: Не всякая полугруппа имеет единицу.

Определение: Полугруппа S конечна, если множество S конечно, в противном случаи S бесконечно, порядок конечности полугруппы S, есть мощность множества S.

Пример:
1) Множество всех отображений всякого множества в себя с операцией композиции (подстановки), есть полугруппа с единицей – тождественным отображением.

2) Множество всех слов в алфавите A с операцией конкатенации (соединение), есть полугруппа с единицей – пустым словом. Если алфавит A имеет n элементов, то полугруппа всех слов A* в алфавите A называется свободной полугруппой с n образующими (генераторами).

3) Множество всех четных натуральных чисел со сложением образует коммутативную группу без единицы.

4) Множество M всех квадратных матриц с фиксированным порядком n≥2 со сложением, есть полугруппа с единицей – нуль — матрицей. Множество M с умножением.

Утверждение: единица в полугруппе, если она есть, единственная.

Доказательство: Пусть e — единица в полугруппе, и пусть g — вторая единица, тогда e*g = g, ибо e — единица, e*g = e, ибо g — единица, ⇒ g =e.

Комментарии запрещены.