Определение: Кольцо (R,{+,•}) есть множество с двумя определенными на нем операциями (функциями)):
1) Сумма x+y: RxR → R
2) Произведение x*y: RxR → R

Удовлетворяющие следующим аксиомам:
1) (x+y) + z = x + (y+z)
2) x+y = y+x
3) ∃0∈R_x + 0 = x
4) ∀x∈R_∃(-x)∈R: x + (-x) = 0
R- Есть абелева группа по сложению.
5) (x*y)*z = x*(y*z)
6) (x+y)*z = x*z + y*z; x*(y+z) = x*y + x*z
Кольцо коммутативно, если умножение коммутативно.
7) x*y = y*z

Замечание: Кольцо R конечно, если R имеет конечное число элементов.

Поле, примеры полей. Характеристика поля. Конечные поля

Определение: Поле (F,{+,•}) есть множество F, на котором определены две операции: сумма x + y: FxF → F, умножение x*y: FxF → F, удовлетворяющие следующим аксиомам:
1) (x+y) + z = x + (y+z)
2) x+y = y+x
3) ∃0∈F_x + 0 = x
4) ∀x∈F_∃(-x)∈F: x + (-x) = 0
5) (x*y) * z = x*(y*z)
6) x*y = y*z
7) ∃e∈F_∀x∈F_x*e = x
8) ∀x∈F — {0}_∃x^-1∈F_x*x^-1 = e
9) (x+y) * z = x*z + y*z

Замечание: Поле F конечно, если F имеет конечное число элементов.

Комментарии запрещены.