Образовательный блог – всё для учебы

Архив рубрики «Математика»

Z = {…, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, …}, N={0,1,2,3,…}, N₊ = {1,2,3,…}
Теорема (деления целых чисел): Пусть b∈N₊. Пусть всякое a∈Z единственным образом представимо в виде a=b*q+r, 0≤b, где b – делитель, q – частное, r – остаток.
Прочитать остальную часть записи »

Пусть φ: A→B есть функция и φ(A)=B . Отображение φ: A→B порождает разбиение множества А на классы, ядерная эквивалентность, для которого σ_φ обладает тем свойствам, что a₁σ_φa₂↔φ(a₁)=φ(a₂) ∀a₁, a₂∈A. Пусть A/σ = {A_b; b∈B} есть множество классов эквивалентности (фактор- множество по эквивалентности σ), тогда отображение h: A/σ → B взаимнооднозначно, тогда отображение p:A → A/σ с p(a) = A_φ(a) есть каноническое отображение. Тогда φ = h*p есть каноническое представление функции φ. Пусть [a]_σ есть класс эквивалентности, содержащий элемент a из A, тогда p(a)=[a]_σ=A_φ(a), h([a]_σ) = φ(a). Пусть записи (a,a’)∈σ, aσa’, a~a’(σ), a~a’ означают, что элементы a и a’ эквивалентны.

Пусть А есть произвольное множество. n- местная операция над А есть функция (отображение) f: Aⁿ → A, Aⁿ = A×…×A . Ноль – арная операция на А есть элемент из А. Пусть n(f) есть местность (арность) операции на f. Универсальная алгебра есть система U = (A, Ω), где А есть некоторое множество, Ω={f_iⁿⁱ(x₁,…,x_n): i=1,2,…}. Тип универсальной алгебры U есть последовательность (n₁, n₂, ..) арностей функций f_i. Сигнатура есть множество Ω символов операций из Ω.
Прочитать остальную часть записи »

Пусть имеем N объектов, которые могут обладать или не обладать n свойствами 1,2,..,n

Примем следующие обозначения:
N(0) [или N(┐1,┐2,..,┐n)]-число объектов, не обладающих ни одним из свойств 1,2,..,n.
N(i1,i2,..,ir)-число объектов, обладающих свойствами i1,i2,..,ir (возможно и другими свойствами)
N_=K – число объектов, обладающих в точности К свойствами.
N_>=K – число объектов, обладающих не менее, чем К свойствами.
Прочитать остальную часть записи »

Теорема: Пусть множество М={х₁,…,х_n}.
Функции f (t, х₁,…,х_m)= ∏(1+x_kt/1! + [x_kt]²/2! + … + (x_kt)^C_k/C_k!) и
g (t)= f (t, 1,…1)= ∏(1+t/1! + t²/2! + … + t^C_k/C_k!)
являются производящими функциями для размещений и для числа размещений из n элементов, причём в каждом размещении элемент Х_К встречается ≤ С_К раз к= 1,2,..,n .
Прочитать остальную часть записи »

Теорема: пусть множество М={х₁,…,х_n}

Функции f (t, х₁,…,х_n)= ∏ (1+x_kt + [x_kt]² + …) и g (t)= f (t, 1,…1) = ∏ (1+t+t² + …)
являются порождающими функциями для сочетаний и для числа сочетаний из n элементов с повторами без ограничений на число повторов.
Прочитать остальную часть записи »

Теорема: Пусть М={x₁,x₂,…,x_n}. Функции f(t,x₁, ₂, …, _n) = ∏(1+x_kt) и g(t) = f(t, 1, 1, …, 1) = (1 + t)ⁿ есть порождающие функции для сочетаний и для числа сочетаний из n элементов.
Прочитать остальную часть записи »

Аппарат формальных степенных рядов есть достаточно универсальный метод порождения и пересчета комбинаторных конфигураций.

Определение: Порождающая функция для множества (для числа) всех комбинаторных конфигураций данного типа, построенных на основе множества М={x₁,x₂,…,x_n} есть функция f(t,x₁,…,x_n) (функция g(t)), в формальном разложении которой в ряд по степеням t коэффициент при t^r есть все комбинаторные конфигурации (число всех комбинаторных конфигураций) из n элементов по r каждой конфигурации.
Прочитать остальную часть записи »

Число размещений без повторений
Теорема: Число размещений без повторений из n элементов по r A_n^r = n(n-1)(n-2)…(n-r+1) = n!/(n-r)!.

Доказательство: В r-размещении (а₁,a₂,…,a_r) n-элементного множества M элемент а₁ можно выбрать n способами. После этого элемент a₂ можно выбрать n-1 способами (из оставшихся n-1 элементов множества M). После этого элемент a₃ можно выбрать n-2 способами. И так далее. Наконец, элемент аr можно выбрать n-г+1 способами. По правилу произведения = n (n-1) (n-2)… (n-r+1);
умножив и разделив правую часть равенства на (n-r)(n-r-1)…3*2*1. Получим A_n^r = n!/(n-r)!.
Прочитать остальную часть записи »

Правило суммы: Пусть конечное множество M разбито на два непересекающихся подмножества M₁ и M₂ (в объединении дающих все множество М). Тогда мощность |M| = |M₁| + |M₂|.

Правило произведения: Пусть в некотором множестве объект а может быть выбран n способами, и после этого (то есть после выбора объекта а) объект b может быть выбран m способами. Тогда объект ab может быть выбран n*m способами.
Прочитать остальную часть записи »

Определение: Перестановка n-элементного множества М есть упорядоченный набор длины n, составленный из попарно различных элементов множества М. Обозначим через множество всех перестановок из n элементов и через Р_n число всех перестановок из n элементов. Например, если M = {а,b,с}, то Р_M = {(а,b,с), (а,с,b), (b,а,с). (b,с.а), (с,а,b), (с,b,а)}; Рn =3!= 6.
Прочитать остальную часть записи »

Алгебра логики позволяет легко преобразовывать логические выражения, что бывает очень полезно. В этой заметке я хочу максимально просто, без математических обозначений, которые непривычны большинству людей, рассказать об этих простых и мощных правилах.

Обозначения
Я буду придерживаться обозначений, ясных большинству людей и привычных для программистов.
• «Истина» — true
• «Ложь» — false
• Логическое «и» — and
• Логическое «или» — or
• Логическое отрицание — not
Прочитать остальную часть записи »

Определение: Уравнение L(x(k)) = x(k+n) + a₁(k)x(k+n+1) + … + a_n(k)x(k) = {0, F(k)}, причём
0 – (R₀) однородное уравнение.
F(k) – R₁ неоднородное уравнение.
где a_i(k) – функция в N→R, i = 1…n и F(k)≠0 (тривиально) – неизвестная функция, x(k) – неизвестная функция называются линейными рекуррентными уравнениями (ЛРУ) однородными и неоднородными соответственно с постоянными коэффициентами.
Прочитать остальную часть записи »

Определение: Нетривиальная система функций f₁(k)…f_n(k) линейно зависима ⇔ ∃ числа с₁…с_n≠0 одновременно, для которых c₁f₁(k) + … + c_nf_n(k) = 0 ∀k∈N

Определение: Система функций f₁(k)…f_n(k) линейно зависима ⇔ c₁f₁(k) + … + c_nf_n(k) = 0 влечёт с₁=…=с_n=0.
Прочитать остальную часть записи »

Определение: Уравнение L(x(k)) = x(k+n) + a₁(k)x(k+n-1) + … + a_n(k)x(k) = {0, F(k)}, причём: 0 – (R₀) однородное уравнение, F(k) – R₁ неоднородное уравнение.

где a_i(k) – функция в N→R, i = 1…n и F(k)≠0 (тривиально) – неизвестная функция, x(k) – неизвестная функция, называются линейными рекуррентными уравнениями (ЛРУ) однородными и неоднородными соответственно с переменными коэффициентами.
Прочитать остальную часть записи »

Пусть F(t₁, t₂,…, t_n+1):Rⁿ⁺¹→R – есть некоторая (n+1) – местная функция.

Определение: Соотношение (уравнение) R x(k+1) = F(k,x(k),x(k+1),..,x(k+n-1)) с неизвестной функцией натурального аргумента x(k): N→R, k∈N = {0,1,2,…} называется рекуррентным (рекурсивным). Число n – порядок уравнения (R).
Прочитать остальную часть записи »

Пусть G есть группа подстановок множества Х={1,2,…n} и пусть конечное множество Y={1,2,…,m} имеет не менее двух элементов. Пусть есть множество всех функций из Х в У. (Х→У).

Число таких функций обозначается |Y|^|X| всех наборов из m=|Y| множества Y с n=|X| элементов в каждом наборе. Пусть подстановка р из G действует на функцию f из М и дает функцию g=p(f)=pf в соответствии с равенством. (pf)(x)=g(x)=f(p(x)). Каждая подстановка р из G определяет подстановку на множестве функций Y*. p_M(f_i) = p_Mf_i = p(f_i). Обозначим множество таких подстановок через G_M.
Прочитать остальную часть записи »

Закон Гаусса является одним из наиболее распространенных в теории надежности. Нормальное распределение оказывается справедливым для очень многих явлений в силу действия центральной предельной теоремы, сформулированной Ляпуновым: если случайная величина Х представляет собой сумму очень большого числа взаимно независимых случайных величин, влияние каждой из которых на всю сумму ничтожно мало, то величина Х имеет распределение, близкое к нормальному.
Прочитать остальную часть записи »

Такое распределение имеет наработка до отказа некоторых невосстанавливаемых изделий. К ним относятся, в частности, некоторые изделия у которых отказ наступает вследствие усталостного разрушения. При оценке надежности механических узлов этим законом описывается надежность подшипников.
Прочитать остальную часть записи »

Такой закон распределения проявляется тогда, когда отказы элементов подчинены экспоненциальному закону с интенсивностью λ₀, а отказ всего объекта наступает после возникновения k отказов отдельных элементов. То есть гамма-распределение находит применение при решении задач об отказах сложных систем с резервированием.
Прочитать остальную часть записи »

Экспоненциальному закону распределения подчиняется:
1. Наработка до отказа многих невосстанавливаемых изделий (лопатки паровых турбин, крепежные детали, набивка уплотнений и др.);
2. Внезапные отказы оборудования в тех случаях, когда явления износа и старения выражена слабо;
3. Наработка восстанавливаемых изделий между соседними отказами до окончания периода их приработки;
4. В ряде случаев, в первом приближении, время восстановления изделий распределено по экспоненциальному закону.
Прочитать остальную часть записи »

Если у восстанавливаемого изделия поток отказов простейший (отказы происходят в случайные моменты времени и чередуются с интервалами восстановления также случайными по продолжительности), тогда случайное число отказов изделия в течение фиксированной наработки имеет распределение Пуассона.
Прочитать остальную часть записи »

Кроме характеристик положения употребляется еще ряд характеристик, каждая из которых описывает то или иное свойство распределения. В качестве таких характеристик чаще всего применяются так называемые моменты.

Чаще всего на практике применяют моменты двух видов: начальные и центральные.
Прочитать остальную часть записи »

Среди числовых характеристик случайных величин нужно прежде всего отметить те, которые характеризуют положение случайной величины на числовой оси, т.е. указывают некоторое среднее, ориентировочное значение, около которого группируются все возможные значения случайной величины.
Прочитать остальную часть записи »

Для дискретной величины:
• функция распределения;
• ряд распределения (графический многоугольник).

Для непрерывной величины:
• функция распределения;
• плотность распределения.
Прочитать остальную часть записи »

Рассмотрим непрерывную случайную величину X с функцией распределения F(x), которую предположим непрерывной и дифференцируемой. Вероятность попадания этой случайной величины на участок от х до х+Δх:
F(x < X < x +Δx) = F(x +Δx) - F(x),
т.е. приращение функции распределения на этом участке. Рассмотрим отношение этой вероятности к длине участка, т.е. среднюю вероятность, приходящуюся на единицу длины на этом участке, и будем приближать Δх к нулю. В пределе получим производную от функции распределения:
Прочитать остальную часть записи »

График функции распределения F(x) в общем случае представляет собой график неубывающей функции, значения которой начинаются от 0 и доходят до 1, причем в отдельных точках функция может иметь скачки (разрывы).

Повторение опытов

При практическом применении теории вероятностей часто приходится встречаться с задачами, в которых один и тот же опыт или аналогичные опыты повторяются неоднократно. В результате каждого опыта может появиться или не появиться некоторое событие А, причем нас интересует не результат каждого отдельного опыта, а общее число появлений события А в результате серии опытов. В подобных задачах требуется уметь определять вероятность любого заданного числа проявлений события в результате серии опытов. Они решаются весьма просто в случае, когда опыты являются независимыми.
Прочитать остальную часть записи »

На практике обычно требуется определить вероятность событий, непосредственное экспериментальное воспроизведение которых затруднено.

Обычно такая оценка и производится с целью выявления наиболее рациональных конструктивных параметров элементов перспективной техники.
Прочитать остальную часть записи »

Определение: Подстановка р:Х→Х={1,2,…,n} сохраняет элемент а (а есть неподвижная точка подстановки р), если р(а)=а.

Стабилизатор элемента а из Х группы G есть множество всех подстановок, сохраняющих элемент а.

Замечание: Стабилизатор Ga есть группа.
Прочитать остальную часть записи »