Пусть А есть произвольное множество. n- местная операция над А есть функция (отображение) f: Aⁿ → A, Aⁿ = A⋅…⋅A . Ноль — арная операция на А есть элемент из А. Пусть n(f) есть местность (арность) операции на f. Универсальная алгебра есть система U = (A, Ω), где А есть некоторое множество, Ω={f_iⁿⁱ(x₁,…,x_n): i=1,2,…}. Тип универсальной алгебры U есть последовательность (n₁, n₂, ..) арностей функций f_i. Сигнатура есть множество Ω символов операций из Ω.

Определение: Алгебра U=(A,Ω) называется конечной, если множество А конечно, и конечного типа, если множество конечно.

Пример:
1. Система (N,{+}) с операцией сложения натуральных чисел есть универсальная алгебра типа 2 сигнатуры {+}.
2. Система (Z, {+,*}) с операциями сложения и умножения целых чисел Z есть универсальная алгебра типа (2,2), сигнатуры {+,*}.
3. Система (Q,{+,*,-,/}) с операциями сложения и т.д. есть универсальная алгебра типа (2,2,2,2), сигнатуры {+,*,*,/}. Операция деления не всюду определена.
4. Система (R,{+,*,-,/, ↑1,↑2,…,↑n,..}) с операциями сложения, умножения, вычитания, деления, возведение в степень 1,…,n,… есть универсальная алгебра типа (2,2,2,2,1,1,1…), сигнатуры .
5. Булева алгебра ({1,0},{&,∨,→,¬}) есть универсальная алгебра типа (2,2,2,1), сигнатуры {&,∨, →,¬}.

Определение: Пусть U=(A,Ω) есть алгебра. Суперпозиция над Ω определяется по индукции следующим образом:
1) Всякая функция из Ω есть суперпозиция над Ω.
2) Если функция из f(x₁, .., x_n)∈Ω и каждая из g₁,…,g_n есть либо суперпозиция над Ω, либо переменная, то f(g₁,…,g_n) есть суперпозиция над Ω.

Замечание: Суперпозиция над Ω есть обычная подстановка функции из Ω. Пусть S(x₁,…,x_n) есть суперпозиция над Ω в алгебре U=(A,Ω) и элементы a₁,…,a_n∈A, тогда S(a₁,…,a_n) есть значение суперпозиции S на a₁,…,a_n.

Определение: Пусть U=(A,Ω) есть алгебра и A₁⊆A есть непустое подмножество из А, тогда [A]_f есть замыкание множества A₁ по n-арной операции f∈Ω, если:
1) A₁⊆[A₁]_f
2) ∀a₁,..,a_n∈A₁, f(a₁,..,a_n)∈[A₁]_f
3) ∀a∈[A₁]_f (a∈A₁ если существует суперпозиция g(y₁,…,y_m) на {f}, ∃b₁,..,b_m∈A₁, что g(b₁, …,b_m)=a).
A₁ замкнуто в А, если [A₁]=A.

Замечание: Замыкание A₁ в алгебре U есть множество всех значений всех суперпозиций с любыми аргументами из A₁.
1. A₁⊆[A₁].
2. [[A₁]]=[A₁].
3. A₁⊆A₂ → [A₁]⊆[A₂].

Определение: Множество A₁ замкнуто относительно операции f, если A₁=[A₁].

Определение: Пусть U=(A,Ω) есть алгебра, и A₁⊆A — непустое подмножество в А. Множество A₁ есть замыкание множества A₁ в алгебре U₁ если:
1. A₁⊆[A₁].
2. ∀fⁿ⊆Ω для ∀a₁,..,a_n∈A₁ f(a₁,..,a_n)∈[A₁] .
3. ∀a∈[A₁] (a∈A₁ или существует суперпозиция g(y₁,..,y_m над Ω, ∃b₁,..,b_m∈A₁).

Замечание: Другими словами: множество [A₁] есть замыкание множества A₁ в алгебре U, если A₁⊆[A₁] или для любой суперпозицией над Ω всякое ее значение для всяких элементов A₁ входит в [A₁. Алгебра U₁ = (A₁,Ω) есть подалгебра U, если A₁ замкнуто в U, A₁=[A₁]. Подалгебра U₁=(A₁,Ω) называется подалгеброй, порожденной системой генераторов A₁.

Пример: Система (N,{+}) (N-множество натуральных чисел). Множество четных чисел N₂ есть подалгебра в алгебре (N,{+}).

Теорема: Если множество {U_i=(A_i,Ω) таких, что i∈I} есть семейство подалгебр алгебры U=(A,Ω), то непустое пересечение (∩A_i, Ω) есть подалгебра алгебры U.

Теорема: Подалгебра U_[A1]=([A₁], Ω) алгебры U=(A,Ω) есть пересечение U_D=(∩B_i, Ω), U_i(B_i, Ω), i∈I. Все подалгебры алгебры U, для которых A₁⊆B₁.

Гомоморфизм универсальных алгебр

Пусть U_A = (A, {f_i^mi: i=1,2,..}), U_B=(B, {g_i^mi: i=1,2,..}), есть две универсальные алгебры одного типа (n₁,n₂,…). Отображение φ_i A→B есть гомоморфизм алгебры U_A в алгебру U_B, если функция φ сохраняет операции в U_A, т.е. для ∀a₁,..,a_ni∈A для любой i=1,2,… φ(f_iⁿⁱ(a₁,..,a_ni))=g_iⁿⁱ(φ(a₁),…,φ(a_ni)). Взаимнооднозначный гомоморфизм U_A и U_B есть изоморфизм. Изоморфизм U_A в себя есть автоморфизм.

Замечание: Теория универсальных алгебр изучает главным образом абстрактные свойства алгебр, т.е. свойства, сохраняемые при гомоморфумах, изоморфумах, автоморфумах.

Пример: Пусть U₁=(R₊,{*}) и U₁=(R,{+}) есть две алгебры, определенные на подмножествах вещественных чисел. Взаимнооднозначное отображение φ(x) = ln x: R₊→R есть изоморфизм из U₁ в U₂, ибо φ(x,y) = ln (x*y) = ln(x) + ln(y) = φ(x) + φ(y).

Теорема: Гомоморфное отображение одной алгебры в другую алгебру, образ подалгебры и полный прообраз подалгебры есть подалгебры.

Комментарии запрещены.