Установим теперь для КЛП формулу, аналогичную формуле (1.3). Пусть V(z)—некоторая ограниченная функция, такая, что V(v, z^v+v^vt), рассматриваемая как функция t при z^v+v^vt∈Г_v, непрерывна и обладает непрерывной справа правой производной. Доопределим V(z) на Z* по непрерывности следующим образом: пусть z* = (v, z_*^v)∈Z*, и пусть последовательность {t_i}_i≥1 сходится к 0 и обладает тем свойством, что z_*^v + v^vt_i∈Г_v, i≥1; тогда положим V (z*) = lim V (v, z_*^v + v^vt_i); если же последовательности, обладающей указанным свойством, не существует, то в таких точках z* функцию V доопределим произвольно — такая точка z* недостижима. Обозначим класс полученных функций D_А и будем предполагать, что V∈D_А.

Пусть z_t = z∈Z и t* = t* (z) — момент первого достижения Z* при условии отсутствия скачков вследствие непрерывного вмешательства случая, определенный равенством (4). Зафиксируем Δt>0. Найдем М {V(z_t+Δt)/z_t = z} — V(z) =М ΔV(z).

Пусть z = (v, z^v). Обозначим

V(z) = ∂V(v, z^v + v^vt)/∂t | _{t = 0}

Случай 1. t*(z) > Δt.
Пользуясь соотношениями (3), найдем, что

MΔV(z) = {λ(z)[M⁽¹⁾V(z)-V(z)]+V(z)}Δt + o(Δt). (6)

Пусть

AV (r) = λ(z)[M⁽¹⁾V (z) — V (z)] + V (z).

Тогда MΔV(z) = AV (z) Δt + о (Δt).

Случай 2. t*(z)≤Δt. Обозначим z* = z + v^vt* (z). Тогда

MΔV(z) = M⁽²⁾V(z*) — V(z*) + O(Δt). (7)

Пусть теперь τ—марковский момент, М_zτ < ∞. Обозначим τ(k)=kΔt∧τ. Тогда имеем тождество (аналогичное (1.2))

M_zV(z_τ) = V(z) + M_z∑[V(z_τ(k+i))-V(z_kΔt)]. (8)

Используя соотношения (6), (7) и то обстоятельство, что за время τ с вероятностью 1 происходит лишь конечное число скачков вследствие дискретного вмешательства случая (обозначим его I(τ)), получим из (8), переходя к пределу при Δt→0,

M_zV(z_τ) = V(z) + M_z ∫AV(z_t)dt + М_z∑[M⁽²⁾V(z_j*) — V(z_j*)] (9)

где z* = lim z_t∈Z* — значение процесса в момент, «непосредственно предшествующий» j-му моменту дискретного вмешательства случая. Формула (9) будет многократно использоваться в дальнейшем.

Полезно отметить, что величина AV(z), участвующая в этой формуле, есть не что иное, как слабый инфинитезимальный оператор обрывающихся подпроцессов z_t⁽ⁿ⁾, определяемый в точке z∈Z формулой

AV (z) = lim 1/t [М_z {V {z_t⁽ⁿ⁾), ξ > t} — V (z)],

где I — время жизни подпроцесса z_t⁽ⁿ⁾.

Отметим, что такая широко распространенная математическая модель, как марковские процессы с непрерывным временем и счетным числом состояний, является вырожденным частным случаем КЛП, когда все основные состояния v ∈N имеют нулевой ранг, |v| = 0 и, следовательно, скорости v^v и вероятности Р⁽²⁾ не определяются, а равенство (9) принимает вид

M_vV(v_τ) = V(v) + M_v ∫AV(z_t)dt, (10)

где

AV{v) =λ_v[M⁽¹⁾V(v) — V(v)]. (11)

Напомним, что в этой главе предполагается выполненным неравенство (2), и, следовательно, у рассматриваемого процесса со счетным числом состояний нет конечных точек накопления скачков.

Комментарии запрещены.