Вывод формулы для КЛП (кусочно-линейных марковских процессов)

Установим теперь для КЛП формулу, аналогичную формуле (1.3). Пусть V(z)—некоторая ограниченная функция, такая, что V(v, zv+vvt), рассматриваемая как функция t при zv+vvt∈Гv, непрерывна и обладает непрерывной справа правой производной. Доопределим V(z) на Z* по непрерывности следующим образом: пусть z* = (v, z*v)∈Z*, и пусть последовательность {ti}i≥1 сходится к 0 и обладает тем свойством, что z*v + vvti∈Гv, i≥1; тогда положим V (z*) = lim V (v, z*v + vvti); если же последовательности, обладающей указанным свойством, не существует, то в таких точках z* функцию V доопределим произвольно — такая точка z* недостижима. Обозначим класс полученных функций DА и будем предполагать, что V∈DА.

Пусть zt = z∈Z и t* = t* (z) — момент первого достижения Z* при условии отсутствия скачков вследствие непрерывного вмешательства случая, определенный равенством (4). Зафиксируем Δt>0. Найдем М {V(zt+Δt)/zt = z} — V(z) =М ΔV(z).

Пусть z = (v, zv). Обозначим

V(z) = ∂V(v, zv + vvt)/∂t | t = 0

Случай 1. t*(z) > Δt.
Пользуясь соотношениями (3), найдем, что

MΔV(z) = {λ(z)[M(1)V(z)-V(z)]+V(z)}Δt + o(Δt). (6)

Пусть

AV (r) = λ(z)[M(1)V (z) — V (z)] + V (z).

Тогда MΔV(z) = AV (z) Δt + о (Δt).

Случай 2. t*(z)≤Δt. Обозначим z* = z + vvt* (z). Тогда

MΔV(z) = M(2)V(z*) — V(z*) + O(Δt). (7)

Пусть теперь τ—марковский момент, Мzτ < ∞. Обозначим τ(k)=kΔt∧τ. Тогда имеем тождество (аналогичное (1.2))

MzV(zτ) = V(z) + Mz∑[V(zτ(k+i))-V(zkΔt)]. (8)

Используя соотношения (6), (7) и то обстоятельство, что за время τ с вероятностью 1 происходит лишь конечное число скачков вследствие дискретного вмешательства случая (обозначим его I(τ)), получим из (8), переходя к пределу при Δt→0,

MzV(zτ) = V(z) + Mz ∫AV(zt)dt + Мz∑[M(2)V(zj*) — V(zj*)] (9)

где z* = lim zt∈Z* — значение процесса в момент, «непосредственно предшествующий» j-му моменту дискретного вмешательства случая. Формула (9) будет многократно использоваться в дальнейшем.

Полезно отметить, что величина AV(z), участвующая в этой формуле, есть не что иное, как слабый инфинитезимальный оператор обрывающихся подпроцессов zt(n), определяемый в точке z∈Z формулой

AV (z) = lim 1/t [Мz {V {zt(n)), ξ > t} — V (z)],

где I — время жизни подпроцесса zt(n).

Отметим, что такая широко распространенная математическая модель, как марковские процессы с непрерывным временем и счетным числом состояний, является вырожденным частным случаем КЛП, когда все основные состояния v ∈N имеют нулевой ранг, |v| = 0 и, следовательно, скорости vv и вероятности Р(2) не определяются, а равенство (9) принимает вид

MvV(vτ) = V(v) + Mv ∫AV(zt)dt, (10)

где

AV{v) =λv[M(1)V(v) — V(v)]. (11)

Напомним, что в этой главе предполагается выполненным неравенство (2), и, следовательно, у рассматриваемого процесса со счетным числом состояний нет конечных точек накопления скачков.


Комментарии запрещены.





Статистика

Рейтинг@Mail.ru