Устойчивость регенерирующих процессов

В этом посте будет изучаться устойчивость, сформулированная в терминах маргинальных распределений, характеризующих регенерирующие процессы. За определение устойчивости можно взять определение 1.1, если в качестве h(zt, zt*) выбрать какое-либо расстояние, зависящее лишь от маргинальных распределений величин zt и zt* (ниже для определенности будет рассматриваться только расстояние Дадли d, «порождающее» слабую сходимость), а под μ(α, α*) понимать соответствующим образом введенную меру отклонения возмущенных параметров от невозмущенных, также определяемую маргинальными характеристиками процессов zt и zt*. Более подробная «расшифровка» μ(α, α*) будет дана ниже.

Повсюду предполагается, что процессы {zt} и {zt*} — регенерирующие. При этом обозначения, введенные в ранее для процесса {zt}, сохраняются и здесь, а аналогичные обозначения для процесса {zt*} снабжаются звездочками.

Как уже отмечалось, определяющим при изучении регенерирующих процессов является вложенный в них процесс восстановления. Поэтому сначала установим один факт, относящийся к этим процессам и имеющий самостоятельный интерес.

Будем считать фиксированными положительную функцию G∈χ, g1 > 0, 0 < а < 1, N — натуральное число. Оценим sup|h(t) - h*(t)|. Для этого, подобно примеру, рассмотрим вспомогательную цепь Маркова {xt, yt}, определяемую рекуррентными соотношениями

xt+1 = F(xt, ηt), t ≥ 0,
yt+1 = F(yt, ηt*), t ≥ 0. (1)

t, ηt*} — последовательность независимых одинаково распределенных пар случайных величин, причем удобно считать, что величины ηt, и ηt*, составляющие t-ю пару, зависимы, и их совместное распределение удовлетворяют условию

Р{ηt = k} = а(k),
P{ηt* = k} = a*(k). (2)

Существование такого совместного распределения очевидно, а конкретный вид его здесь неважен и, более того, в дальнейшем он будет варьироваться, чтобы получить необходимые оценки для маргинальных характеристик.

Будем для определенности считать, что t = 0 — момент восстановления для всех рассматриваемых процессов, и в соответствии с этим предполагать, что пара (х0, у0) распределена так же, как и пары (ηt, ηt*), и не зависит от последовательности {ηt, ηt*}- В силу построения цепи Маркова и равенств (2)

h(t) = P{хt-1 = 1}, t ≥ 0, (3)
h(t) = P{yt-1 = 1}, t ≥ 0, (4)

и поэтому

|h(t) — h*(t)| ≤ P{xt-1≠yt-1}. (5)

Обозначим L={(x, y) : x = y где x = y ∈ I+, где I+ = {1, 2, …}, θ(х, y)—время первого достижения процессом {xt, уt} при х0 = х, у0 = у множества L, где считается, что θ(х, у) = 0 при х = у ∈ I+, qt = Р {xt≠yt}.

Теорема 1. Для любых двух процессов восстановления, «порождаемых» распределениями из множества NP(N, a)∩L(G, g1), справедлива оценка

sup|h(t) — h*(t)| ≤ π({a(·), {a*(·)}) (17).

Оценка (17) дает ответ и на вопрос об «устойчивости» процессов восстановления.

Следствие 1. Для любой последовательности процессов восстановления, определяемой распределениями {а(n)(·) ∈ NP{N, a) П L(G, g1), a(n)(t) → a(t), t > 0, справедливо соотношение

sup |h(t)-h(n)(t)| → 0.

Утверждение теоремы 1 можно было бы доказать и другим способом.

sup|h(t) — h*(t)| ≤ max[Δ1(t)∧Δ2(t)]. (20)

Однако доказательство с помощью соотношения (20) обладает одним недостатком, существенным при анализе устойчивости. Именно, оно использует наличие предела у функций h(t) и h*(t). В то же время приведенное доказательство теоремы 1 не требует существования этих пределов (конечно, в условиях теоремы 1 указанные пределы существуют), и можно распространить результат теоремы 1 на случай суммирования независимых, но необязательно одинаково распределенных слагаемых. Важность данного обстоятельства состоит в том, что по самой сути постановки задач об устойчивости не предполагается точного знания вида законов распределения, «управляющих» исследуемым процессом, а допускается их вариация в некоторых границах. Однако и такие «малые» изменения приводят к тому, что у функций h(t) при t → ∞ предела может, вообще говоря, не существовать (образно говоря, факт существования такого предела не является устойчивым).


Оставить комментарий





Статистика

Рейтинг@Mail.ru