Образовательный блог – всё для учебы

В этом посте будет изучаться устойчивость, сформулированная в терминах маргинальных распределений, характеризующих регенерирующие процессы. За определение устойчивости можно взять определение 1.1, если в качестве h(z_t, z_t*) выбрать какое-либо расстояние, зависящее лишь от маргинальных распределений величин z_t и z_t* (ниже для определенности будет рассматриваться только расстояние Дадли d, «порождающее» слабую сходимость), а под ?(?, ?*) понимать соответствующим образом введенную меру отклонения возмущенных параметров от невозмущенных, также определяемую маргинальными характеристиками процессов z_t и z_t*. Более подробная «расшифровка» ?(?, ?*) будет дана ниже.

Повсюду предполагается, что процессы {z_t} и {z_t*} — регенерирующие. При этом обозначения, введенные в ранее для процесса {z_t}, сохраняются и здесь, а аналогичные обозначения для процесса {z_t*} снабжаются звездочками.

Как уже отмечалось, определяющим при изучении регенерирующих процессов является вложенный в них процесс восстановления. Поэтому сначала установим один факт, относящийся к этим процессам и имеющий самостоятельный интерес.

Будем считать фиксированными положительную функцию G??, g₁ > 0, 0 < а < 1, N — натуральное число.

Оценим sup|h(t) - h*(t)|.

Для этого, подобно примеру, рассмотрим вспомогательную цепь Маркова {x_t, y_t}, определяемую рекуррентными соотношениями

x_t+1 = F(x_t, ?_t), t ? 0,
y_t+1 = F(y_t, ?_t*), t ? 0. (1)

{?_t, ?_t*} — последовательность независимых одинаково распределенных пар случайных величин, причем удобно считать, что величины ?_t, и ?_t*, составляющие t-ю пару, зависимы, и их совместное распределение удовлетворяют условию

Р{?_t = k} = а(k),
P{?_t* = k} = a*(k). (2)

Существование такого совместного распределения очевидно, а конкретный вид его здесь неважен и, более того, в дальнейшем он будет варьироваться, чтобы получить необходимые оценки для маргинальных характеристик.

Будем для определенности считать, что t = 0 — момент восстановления для всех рассматриваемых процессов, и в соответствии с этим предполагать, что пара (х₀, у₀) распределена так же, как и пары (?_t, ?_t*), и не зависит от последовательности {?_t, ?_t*}- В силу построения цепи Маркова и равенств (2)

h(t) = P{х_t-1 = 1}, t ? 0, (3)
h(t) = P{y_t-1 = 1}, t ? 0, (4)

и поэтому

|h(t) – h*(t)| ? P{x_t-1?y_t-1}. (5)

Обозначим L={(x, y) : x = y где x = y ? I₊, где I₊ = {1, 2, …}, ?(х, y)—время первого достижения процессом {x_t, у_t} при х₀ = х, у₀ = у множества L, где считается, что ?(х, у) = 0 при х = у ? I₊, q_t = Р {x_t?y_t}.

Теорема 1. Для любых двух процессов восстановления, «порождаемых» распределениями из множества NP(N, a)?L(G, g₁), справедлива оценка

sup|h(t) – h*(t)| ? ?({a(·), {a*(·)}) (17).

Оценка (17) дает ответ и на вопрос об «устойчивости» процессов восстановления.

Следствие 1. Для любой последовательности процессов восстановления, определяемой распределениями {а⁽ⁿ⁾(·) ? NP{N, a) П L(G, g₁), a⁽ⁿ⁾(t) ? a(t), t > 0, справедливо соотношение

suv |h(t)-h⁽ⁿ⁾(t)| ? 0.

Утверждение теоремы 1 можно было бы доказать и другим способом.

sup|h(t) – h*(t)| ? max[?₁(t)??₂(t)].(20)

Однако доказательство с помощью соотношения (20) обладает одним недостатком, существенным при анализе устойчивости. Именно, оно использует наличие предела у функций h(t) и h*(t). В то же время приведенное доказательство теоремы 1 не требует существования этих пределов (конечно, в условиях теоремы 1 указанные пределы существуют), и можно распространить результат теоремы 1 на случай суммирования независимых, но необязательно одинаково распределенных слагаемых. Важность данного обстоятельства состоит в том, что по самой сути постановки задач об устойчивости не предполагается точного знания вида законов распределения, «управляющих» исследуемым процессом, а допускается их вариация в некоторых границах. Однако и такие «малые» изменения приводят к тому, что у функций h(t) при t ? ? предела может, вообще говоря, не существовать (образно говоря, факт существования такого предела не является устойчивым).

1. Устойчивость на всей оси времени
2. Ограниченность для процессов с дискретным временем
3. Достижимость для процессов с дискретным временем
4. Неустойчивости по Ляпунову и асимптотическая устойчивость по Ляпунову
5. Процесс, построенный на последовательности необрывающихся процессов
6. Вывод формулы для КЛП (кусочно-линейных марковских процессов)
7. Моделирование и синхронизация параллельных процессов
8. Теоремы достижимости и ограниченности
9. Оценки в случае непрерывного времени
10. Особенности построения моделей дискретных процессов на языке GPSS
11. Моделирование процессов, связанных по устройству обслуживания
12. Пример процесс рождения и гибели. Многолинейная система массового обслуживания с относительным приоритетом
13. Оценка скорости сходимости в теореме восстановления
14. Теорема об устойчивости. Теорема об неустойчивости
15. Теоремы об устойчивости по первому приближению
16. Ограниченность для КЛП
17. Качественные свойства, представляющие интерес при разработке сложных систем