Примеры 1 и 2 моделей с дискретным временем

Пример 1.
Цепь Маркова со счетным числом состояний. Пусть Z = {0, 1, 2, …}. Тогда процесс zt называется однородной цепью Маркова со счетным числом состояний. Здесь этот процесс не связывается с описанием какой-либо конкретной системы, поскольку он применяется в самых разнообразных ситуациях. Как известно, динамика однородного марковского процесса полностью определяется матрицей переходных вероятностей Р=(Рij), i, j = 0, 1, 2, … В соответствии с формулой (1.1) действие производящего оператора А задается выражением

AV(k)= ∑pkj V(j)-V(k). (1)

При этом V∈DA(k), если правая часть формулы (1) конечна. Вид области определения DA зависит, очевидно, от матрицы Р. Например, если Р удовлетворяет условию

sup ∑ pkj |j-k| < ∞

то множество DA включает, в частности, все функции, удовлетворяющие условию Липшица.

Пример 2.
Однолинейная система обслуживания. Рассмотрим систему массового обслуживания с ожиданием, состоящую из одного прибора, на которую поступает ординарный поток требований, порядок обслуживания — прямой, прибор забирает из очереди (если она не пуста) требования по мере своего освобождения. Если же система пуста, то поступающее требование сразу начинает обслуживаться. Обозначим через tn момент поступления в систему n-го требования, θn = tn+1 — tn, ηn — время обслуживания n-го требования, ξn = ηn — θn, ωn — время ожидания n-м требованием начала обслуживания, vn — время простоя прибора непосредственно перед началом обслуживания n-го требования, zn = ωn — vn.

Очевидно, ωn vn = 0.

Нетрудно видеть, что

zn+1 = zn+ + ξn. (2)

Отметим, что ωn = zn+, и, следовательно, из (2) можно получить соотношение

ωn+1 = (ωn + ξn). (3)

Предположим теперь, что {ξn} — последовательность независимых одинаково распределенных случайных величин. Тогда процессы zn и ωn являются однородными марковскими. Множеством состояний процесса zn является вся действительная прямая (-∞, ∞). Множеством состояний процесса ωn является полупрямая [0, ∞). Оба эти процесса заданы рекуррентными соотношениями типа (1.5). Поскольку

|z+ + ξ| ≤ |z| + |ξ|, -∞ < z < ∞ (ω + ξ) ≤ ω + ξ+, ω ≥ 0,

то из утверждений, приведенных ранее, следует, что Мωωnγ < ∞ при всех ω, n, если M(ξ+)ω < ∞ и Mz|zn|γ < ∞ при всех z, n, если М|ξ|γ < ∞, γ > 0. Производящие операторы А, А’ для процессов zn, ωn определяются соответственно выражениями

AV(z) = МV(z+ + ξ) -V(z), (4)
A’V(ω) = МV[(ω + ξ)+] — V(ω). (5)

Если М|ξ| < ∞, (М ξ+ < ∞), то, как следует из равенств (4) и (5), области DA(DА’) содержат все функции, растущие не быстрее линейной: |V(z)| ≤ L(z) при некотором L>0 (в частности, удовлетворяющие условию Липшица).


Комментарии запрещены.





Статистика

Рейтинг@Mail.ru