Образовательный блог – всё для учебы

Пример 1.

Цепь Маркова со счетным числом состояний. Пусть Z = {0, 1, 2, …}. Тогда процесс z_t называется однородной цепью Маркова со счетным числом состояний. Здесь этот процесс не связывается с описанием какой-либо конкретной системы, поскольку он применяется в самых разнообразных ситуациях. Как известно, динамика однородного марковского процесса полностью определяется матрицей переходных вероятностей Р=(Р_ij), i, j = 0, 1, 2, .-. В соответствии с формулой (1.1) действие производящего оператора А задается выражением

AV(k)=? p_kj V(j)-V(k). (1)

При этом V?D_A(k), если правая часть формулы (1) конечна. Вид области определения D_A зависит, очевидно, от матрицы Р. Например, если Р удовлетворяет условию

sup ? p_kj |j-k| < ?
то множество D_A включает, в частности, все функции, удовлетворяющие условию Липшица.

Пример 2.

Однолинейная система обслуживания. Рассмотрим систему массового обслуживания с ожиданием, состоящую из одного прибора, на которую поступает ординарный поток требований, порядок обслуживания — прямой, прибор забирает из очереди (если она не пуста) требования по мере своего освобождения. Если же система пуста, то поступающее требование сразу начинает обслуживаться. Обозначим через t_n момент поступления в систему n-го требования, ?_n = t_n+1 — t_n, ?_n — время обслуживания n-го требования, ?_n = ?_n — ?_n, ?_n — время ожидания n-м требованием начала обслуживания, v_n — время простоя прибора непосредственно перед началом обслуживания n-го требования, z_n = ?_n – v_n.

Очевидно, ?_n ? v_n = 0.
Нетрудно видеть, что
z_n+1 = z_n⁺ + ?_n. (2)
Отметим, что ?_n = z_n⁺, и, следовательно, из (2) можно получить соотношение

?_n+1 = (?_n + ?_n). (3)

Предположим теперь, что {?_n} — последовательность независимых одинаково распределенных случайных величин. Тогда процессы z_n и ?_n являются однородными марковскими. Множеством состояний процесса z_n является вся действительная прямая (—?, ?). Множеством состояний процесса ?_n является полупрямая [0, ?). Оба эти процесса заданы рекуррентными соотношениями типа (1.5). Поскольку
|z⁺ + ?| ? |z| + |?|, —? < z < ?
(? + ?) ? ? + ?⁺, ? ? 0,
то из утверждений, приведенных ранее, следует, что М_??_n^? < ? при всех ?, n, если M(?⁺)^? < ? и M_z|z_n|^? при всех z, n, если М|?|^? < ?, ? > 0. Производящие операторы А, А' для процессов z_n, ?_n определяются соответственно выражениями

AV(z) = МV(z⁺ + ?) -V(z), (4)
A'V(?) = МV[(? + ?)⁺] — V(?). (5)

Если М|?| < ?, (М ?⁺ < ?), то, как следует из равенств (4) и (5), области Й)Л(2>А’) содержат все функции, растущие не быстрее линейной: |V(z)| ? L(z) при некотором L>0 (в частности, удовлетворяющие условию Липшица).

1. Пример 3 и 4 моделей систем с дискретным временем
2. Достижимость для процессов с дискретным временем
3. Марковские процессы с дискретным временем
4. Ограниченность для процессов с дискретным временем
5. Леммы – модели систем с дискретным временем
6. Примеры устойчивости предельных режимов
7. Схема резервирования с конечным временем переключения элементов
8. Система обслуживания с относительным приоритетом
9. Пример многолинейной системы массового обслуживания с относительным приоритетом
10. Кусочно-линейные марковские процессы с непрерывным временем
11. Особенности построения моделей дискретных процессов на языке GPSS
12. Стандартизованные формы представления моделей
13. Пример процесс рождения и гибели. Многолинейная система массового обслуживания с относительным приоритетом
14. Построение аппроксимирующих моделей минимизируемой функции
15. Пример многолинейной системы обслуживания с ожиданием
16. Вывод формулы для КЛП (кусочно-линейных марковских процессов)
17. Примеры дифракции световых волн